Możliwe wartości wyznacznika

[Bursztyncio]

Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy \(\displaystyle{ A}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\), jeśli:
a) \(\displaystyle{ A^2 = A - I}\)
b) \(\displaystyle{ A^3 - 4A^{-1} = \overline{0}}\)

[bartek118]

a) Zauważ, że \(\displaystyle{ A^2 - A + I = 0}\). Wobec tego wielomian minimalny macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest dzielnikiem wielomianu \(\displaystyle{ \psi(\lambda) = \lambda^2 - \lambda + 1}\). Ponieważ każda wartość własna jest pierwiastkiem wielomianu minimalnego, to jedyne możliwe wartości własne tej macierzy są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ \psi}\). Dalej tylko musisz skorzystać z tego, że wyznacznik macierzy to iloczyn wartości własnych.

b) Pomnóż równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ A}\), pamiętając tym samym, że \(\displaystyle{ 0}\) nie może być wartością własną tej macierzy (we wzorze mamy odwrotność \(\displaystyle{ A}\)). Wobec tego \(\displaystyle{ A^4 - 4 = \overline{0}}\). Dalej - analogicznie jak a).