Wyznacznik macierzy stopnia n

[Bursztyncio]

Dany jest wyznacznik stopnia \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ u_n = \det \left[ \begin{array}{ccccccc}
a_1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
-1 & a_2 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & a_3 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & a_{n-1} & 1 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & a_n \\
\end{array}\right]}\)

Wykazać, że \(\displaystyle{ u_n =a_n u_{n-1} + u_{n-2}}\).

Zastanawiam się nad indukcją na \(\displaystyle{ n}\), ale nie wiem jak mam ją w tym przykładzie zastosować. Proszę o pomoc.

[kerajs]

Wynik dostajesz wprost jeśli rozwiniesz ten wyznacznik względem ostatniego wiersza.

[Bursztyncio]

W jaki sposób mam to zrobić? Nie mam pomysłu, jak rozwinąć ten wiersz z Tw. Laplace'a

[kerajs]

\(\displaystyle{ u_n = \det \left[ \begin{array}{ccccccc}
a_1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & a_2 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \ldots & a_{n-3} & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & \ldots & -1 & a_{n-2} & 1 & 0\\
0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & a_{n-1} & 1 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & -1 & a_n \\
\end{array}\right]=}\)
\(\displaystyle{ =-(-1) \left| \begin{array}{cccccc}
a_1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
-1 & a_2 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \ldots & a_{n-3} & 1 & 0\\
0 & 0 & \ldots & -1 & a_{n-2} & 0\\
0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 1 \\
\end{array}\right|+a_{n}\left| \begin{array}{cccccc}
a_1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
-1 & a_2 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \ldots & a_{n-3} & 1 & 0 \\
0 & 0 & \ldots & -1 & a_{n-2} & 1 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & a_{n-1} \\
\end{array}\right|}\)
Lewy wyznacznik rozwijasz względem ostatniej kolumny i dostajesz wyznacznik \(\displaystyle{ u_{n-2}}\) , a wyznacznik prawy to przecież \(\displaystyle{ u_{n-1}}\).
Ostatecznie wychodzi Ci : \(\displaystyle{ u_n =u_{n-2}+a_n u_{n-1}}\).