Wyznaczyc macierz przekształcenia w bazach kanonicznych

[maciekkobierecki]

-- 17 sty 2016, o 15:23 --

Dzień dobry,
Mam problem z zadaniem. Do rzeczy:
Dana jest macierz \(\displaystyle{ M ^{A} _{B}}\) (fi)= \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}\) w bazach A=((2,-1),(-1,1)) oraz B=((3,-1,1),(2,0,-3),(1,-1,0))
Wyznaczyć macierze przekształcenia w bazach kanonicznych i podać wzór przekształcenia fi. Sprawdzic czy wektor (1,2) należy do Ker fi, a wektor (1,0,-1) należy do Im fi.

Przestawię teraz moje rozwiązanie. Możliwe, że zrobiłem jakis banalny błąd ale ostatnio nie miałem czasu na algebre a teraz widzę tego skutki.

Aby wyznaczyc macierz przekształcenia w bazach kanonicznych stosuje wzór:

\(\displaystyle{ M^{C} _{D} = M ^{B} _{D} \cdot M ^{A} _{B} \cdot M ^{C} _{A}}\)
Gdzie:
A=((2,-1),(-1,1)) B=((3,-1,1),(2,0,-3),(1,-1,0)) C=((1,0),(0,1)) D=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
\(\displaystyle{ M ^{B} _{D}}\) - macierz wyrażająca baze B jako kombinacje wektorów w bazie D (nie wiem jak sie taka macierz nazywa)
\(\displaystyle{ M ^{C} _{A}}\) - macierz wyrażająca baze A jako kombinacje wektorów w bazie B.

\(\displaystyle{ M ^{B} _{D}}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\-1&0&-1\\1&-3&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ M ^{C} _{A} = (M ^{A} _{C}) ^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-1&1\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ ^{-1}}\) =\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ M ^{C} _{D}}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\-1&0&1\\-1&-3&0\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}6&5\\4&3\\2&1\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&2\end{array}\right]}\)= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}50&72\\-8&-12\\-32&-46\end{array}\right]}\)

fi(x,y)= (50x+72y, -8x-12y, -32x-46y)
Aby sprawdzic czy (1,2) nalezy do Ker fi licze wartość f(1,2) i sprawdzam czy sie zeruje. Czy moje obliczenia są dobre?