Liniowa niezależność nad przestrzeniami

[aqw3]

Zbadaj, czy \(\displaystyle{ w_1 = (1, 1, 0)^T, v_2 = (1, 0, 1)^T, v_3 = (0, 1, 1)^T}\) są liniowo niezależne dla przestrzeni:
\(\displaystyle{ i) \ R^3}\) i ciała \(\displaystyle{ R}\)
\(\displaystyle{ ii) \ Z_2^3}\) i ciała \(\displaystyle{ Z_2}\)

Dla pierwszego przykładu mam:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y = 0 \\ x + z = 0 \\ y + z = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
x = 0 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}}\)

Jest liniowo zależny

Dla drugiego: (wektory i współczynniki mają być chyba w \(\displaystyle{ Z_2}\))
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y = 0 \\ x + z = 0 \\ y + z = 0 \end{cases}}\)

i teraz pytanie: \(\displaystyle{ y + z = 0 \Rightarrow y = -z \mod 2 \Rightarrow y = z}\) ?
\(\displaystyle{ x + z = 0 \Rightarrow x = -z \mod 2 \Rightarrow x = z}\)
\(\displaystyle{ x + y = 0 \Rightarrow x = -y \mod 2 \Rightarrow x = y}\)

Czyli \(\displaystyle{ x = y = z}\), więc jest zależny? Bo może być chyba \(\displaystyle{ x = 0 \vee x = 1}\)

[Premislav]

1) nie wiem, co Ty tam robisz, ale jakoś nie widzę tego rozumowania. Zbuduj macierz, której kolumnami będą \(\displaystyle{ v_{1}}\), \(\displaystyle{ v_2}\) i \(\displaystyle{ v_{3}}\) odpowiednio i policz jej wyznacznik (np. z rozwinięcia Laplace'a). Jeśli wyjdzie niezerowy, to \(\displaystyle{ v_{i}}\) są liniowo niezależne. Ale tak się składa, że wyjdzie wyznacznik równy \(\displaystyle{ 0}\), więc są one liniowo zależne.
2) to samo, tylko obliczenia wykonujesz modulo \(\displaystyle{ 2}\).

[aqw3]

Mogę się mylić, ale wyznacznik wychodzi dla macierzy"
\(\displaystyle{ A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \ \ \det A = -2}\)
więc jest liniowo niezależna.
Mój sposób opierał się na: \(\displaystyle{ \alpha_1 \cdot v_1 \cdot \ldots \cdot \alpha_n \cdot v_n = 0}\).

Lecz bardziej interesuje mnie drugi przykład, aby na pewno metoda wyznaczników działa dla przestrzeni w liczbach całkowitych modulo \(\displaystyle{ 2}\) ?

Co jeżeli byłby przykład:
\(\displaystyle{ w_1 = (2, 2, 0)^T, w_2 = (1, 0, 2)^T, w_3 = (1, 2, 1)^T}\) dla przestrzeni \(\displaystyle{ Z_3^3}\) i ciała \(\displaystyle{ Z_2}\) ?

[Premislav]

Masz rację, walnąłem się w obliczeniach, postawiłem minus nie tam gdzie trzeba, wyznacznik w pierwszym policzyłeś w porządku. Czyli wektory te są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \RR}\)

Mój sposób opierał się na: \(\displaystyle{ \alpha_1 \cdot v_1 \cdot \ldots \cdot \alpha_n \cdot v_n = 0.}\)

Tam powinny być znaki dodawania, a nie mnożenia, ale pewnie to zwykłe przeoczenie.
Zapewne nie pamiętasz dobrze tej metody: jeśli tam wychodzi, że jedynym rozwiązaniem tego jest \(\displaystyle{ (\alpha_{1},\alpha_{2},.. \alpha_{n})=(0,0,..0)=\vec{0}}\), to \(\displaystyle{ v_{1},...v_{n}}\) są liniowo niezależne.

W zasadzie to nie wiem, jak rozstrzygnąć czy metoda wyznaczników działa dla \(\displaystyle{ \ZZ_{2}}\), nie mam pomysłu na dowód ani kontrprzykład, może bezpieczniej jest liczyć standardowo.

W drugim wychodzi liniowa zależność, bo (dodawanie po współrzędnych modulo \(\displaystyle{ 2}\)):
\(\displaystyle{ (1,1,0)^{T}+(1,01,)^{T}=(0,1,1)^{T}}\)

[aqw3]

Zgodnie z tym co napisałeś to chyba zadziałało to co napisałem ? Obliczanie układem równań. Co jednak w przypadku drugim (mój drugi post), który napisałem wyżej? Że przestrzeń to : \(\displaystyle{ Z_3^3}\), a ciało \(\displaystyle{ Z_2}\) ?

Rozumiem, że \(\displaystyle{ v_1, \ldots , v_n \in Z_3^3}\) i \(\displaystyle{ x,y,z \in Z_2}\), lecz po czym liczyć modulo w układzie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y + z = 0 \\ 2x + 2z = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z = -2y \mod 2}\) czy \(\displaystyle{ z = -2 \mod 3}\) ?

Dla \(\displaystyle{ \mod 2}\):

\(\displaystyle{ 2x = 0 \mod 2 = 0}\)
\(\displaystyle{ 2x + y + z = 0 \Rightarrow y = 0}\)
\(\displaystyle{ z = 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}}\)
Czyli są liniowo niezależne.

Dla \(\displaystyle{ \mod 3}\):

\(\displaystyle{ z = -2y \mod 3 \Rightarrow z = y}\)
\(\displaystyle{ 2x = -2z \mod 3 \Rightarrow x = -z \mod 3 \Rightarrow x = 2z}\)
\(\displaystyle{ 4y + y + y = 0 \mod 3 \Rightarrow y = 0}\)

Czyli też:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}}\)

Tak na marginesie liczę w ogóle to dobrze? Czy są błędy w liczeniu tego modulo ?

[Premislav]

Tak zgadza się, pierwsze zadanie wychodzi dobrze tą metodą - napisałeś tylko wcześniej błędną konkluzję.

W układzie równań liczysz modulo \(\displaystyle{ 3}\), a nie modulo \(\displaystyle{ 2}\), zaś współczynniki \(\displaystyle{ x,y,z}\) bierzesz z \(\displaystyle{ \ZZ_{2}}\). Zbyt chaotycznie zapisałeś te obliczenia, bym mógł je sprawdzić, ale na pewno to wnioskowanie:
\(\displaystyle{ 4y + y + y = 0 \mod 3 \Rightarrow y = 0}\) jest nieprawdą. Np. \(\displaystyle{ 2}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), ale jak sześć razy dodamy do siebie \(\displaystyle{ 2}\)... (a nawet wystarczy trzy razy)

[aqw3]

Podsumowując: wszystko wykonuję dla \(\displaystyle{ Z_3}\) (mnożenia, dodawania, odejmowania), natomiast tylko wynik końcowy sprawdzam czy leży w \(\displaystyle{ Z_2}\) ?