Obraz symetryczny punktu względem prostej.

[PatrycjaMycha]

Znaleźć obraz symetryczny punktu \(\displaystyle{ P=\left( 1,-2,0 \right)}\) względem prostej
\(\displaystyle{ l : x+y-z+3=0 \\
2x-y+3z-4=0}\)
Proszę o pomoc.

[SlotaWoj]

Prosta \(\displaystyle{ l}\) jest (tak została zdefiniowana) przecięciem dwóch płaszczyzn.
Trzeba wyznaczyć równanie płaszczyzny prostopadłej do \(\displaystyle{ l}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\), znaleźć punkt \(\displaystyle{ S}\), w którym prosta \(\displaystyle{ l}\) przebija tę płaszczyznę.

Będzie:

• \(\displaystyle{ \overrightarrow{PP\,'}=2\overrightarrow{PS}}\)

[PatrycjaMycha]

Wpadłam na taki pomysl :
1. Wyznaczyc rzut punktu \(\displaystyle{ P}\) na prostą.
2. Punkt symetryczny \(\displaystyle{ P`}\) jest w takiej samej odległości od prostej jak punkt \(\displaystyle{ P}\) , wiec skorzystac z rzutowanego punktu na prostą.
3. Załozmy ,ze wspolrzedne zrzutowanego punktu to : \(\displaystyle{ R=\left( a,b,c\right)}\) a \(\displaystyle{ P`=\left( x,y,z\right)}\)

A wiec \(\displaystyle{ \frac{1+x}{2}=a}\) \(\displaystyle{ \frac{-2+y}{2}=b}\) \(\displaystyle{ \frac{0+z}{2}= c}\)

Czy to sie zgadza?

[SlotaWoj]

Zgadza się, ale (aby nie było wątpliwości) pisz tak:

• \(\displaystyle{ a=\frac{1+x}{2} \\
  b=\frac{-2+y}{2} \\
  c=\frac{0+z}{2}}\)

I co dalej?

[PatrycjaMycha]

Dalej po prostu wyliczam współrzędne \(\displaystyle{ P`}\). Czyż nie?

[SlotaWoj]

Tak, ale mamy sześć zmiennych i tylko trzy równania.