Matematyka.pl

Mam pytanie, dlaczego zbiór macierzy diagonalnych z działaniem mnożenia nie jest grupą?? Wydaje mi się że wszystkie warunki są spełnione (ale najprawdopodobniej tak nie jest)
Gdyby ktoś mógłby wskazać mi powód byłbym naprawdę wdzięczny.

Dla macierzy diagonalnych, dla których co najmniej jeden element leżący na głównej przekątnej jest równy zero nie ma macierzy odwrotnej.

Wielkie dzięki, chyba sam bym na to nie wpadł. Ale tak jak przypuszczałem odpowiedz na moje pytanie nie była zbyt skomplikowana

kicaj1987 pisze:Wielkie dzięki, chyba sam bym na to nie wpadł

A dlaczego? Z definicji grupy wynika, że musi istnieć taki element neutralny e, że dla elementu odwrotnego do każdego członka grupy a zachodzi \(\displaystyle{ a \triangle a^{-1}=e}\). Tym elementem neutralnym w przypadku mnożenia musi być, nie ma rady, macierz jednostkowa, czyli zachodzić musi \(\displaystyle{ A\cdot A^{-1}=I}\). Jednakowoż definicja macierzy odwrotnej to \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{detA}A_{D}^{T}}\),zatem \(\displaystyle{ detA\neq0}\).
Wyznacznik macierzy diagonalnej zaś \(\displaystyle{ detA=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\) to iloczyn elementów na diagonali, jeżeli którykolwiek z nich jest równy zero, to i wyznacznik jest równy zero i nie istnieje macierz odwrotna dla takiej macierzy.

Oczywiście, jeżeli uściślimy zbiór macierzy tak, aby wyselekcjonować z niego tylko te, utworzone nad zbiorem rzeczywistym bez zera, to taka struktura już może być grupą.

Spokojnie, wiem już dlaczego tak jest , potrzebowałem tylko podpowiedzi jovante, za która jeszcze raz dziękuję Twoja część sam sobie dopowiedziałem ale może komuś sie to przyda. Tak więc tobie też dzięki