Macierz diagonalna i mnożenie (grupa czy nie?)

[kicaj1987]

Mam pytanie, dlaczego zbiór macierzy diagonalnych z działaniem mnożenia nie jest grupą?? Wydaje mi się że wszystkie warunki są spełnione (ale najprawdopodobniej tak nie jest)
Gdyby ktoś mógłby wskazać mi powód byłbym naprawdę wdzięczny.

[jovante]

Dla macierzy diagonalnych, dla których co najmniej jeden element leżący na głównej przekątnej jest równy zero nie ma macierzy odwrotnej.

[kicaj1987]

Wielkie dzięki, chyba sam bym na to nie wpadł. Ale tak jak przypuszczałem odpowiedz na moje pytanie nie była zbyt skomplikowana

[Amon-Ra]

Wielkie dzięki, chyba sam bym na to nie wpadł

A dlaczego? Z definicji grupy wynika, że musi istnieć taki element neutralny e, że dla elementu odwrotnego do każdego członka grupy a zachodzi \(\displaystyle{ a \triangle a^{-1}=e}\). Tym elementem neutralnym w przypadku mnożenia musi być, nie ma rady, macierz jednostkowa, czyli zachodzić musi \(\displaystyle{ A\cdot A^{-1}=I}\). Jednakowoż definicja macierzy odwrotnej to \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{detA}A_{D}^{T}}\),zatem \(\displaystyle{ detA\neq0}\).
Wyznacznik macierzy diagonalnej zaś \(\displaystyle{ detA=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\) to iloczyn elementów na diagonali, jeżeli którykolwiek z nich jest równy zero, to i wyznacznik jest równy zero i nie istnieje macierz odwrotna dla takiej macierzy.

Oczywiście, jeżeli uściślimy zbiór macierzy tak, aby wyselekcjonować z niego tylko te, utworzone nad zbiorem rzeczywistym bez zera, to taka struktura już może być grupą.

[kicaj1987]

Spokojnie, wiem już dlaczego tak jest , potrzebowałem tylko podpowiedzi jovante, za która jeszcze raz dziękuję Twoja część sam sobie dopowiedziałem ale może komuś sie to przyda. Tak więc tobie też dzięki