Ortogonalna baza

[Skrzetusky]

Mam problem z wyznaczeniem bazy ortogonalnej, a później ortonormalnej, gdzie dana jest płaszczyzna. Mógłby ktoś wytłumaczyć jak dokonać poprawnego procesu wyznaczenia tej bazy?

Wiem, że trzeba użyć ortogonalizacji Grama-Schmidta.

\(\displaystyle{ \pi: x-y+4z=0}\)

[a4karo]

A coż ta baza ma mieć wspólnego z tą płaszczyzną?

[Skrzetusky]

Zakładam, że dwa wektory, które rozpinają tą płaszczyznę i są prostopadłe do wektora normalnego.

Tylko nie wiem czy to jest pytanie do zadania czy pytanie do wskazówek.

//Edit

Skoro mam wektor normalny:
\(\displaystyle{ \vec{n}=[1,-1,4]}\), dodatkowo tworzę sobie dwa prostopadłe wektory.
\(\displaystyle{ \vec{a}=[1,1,0], \vec{b}=[4,0,-1]}\)

W tym momencie mam dwa wektory, które generują tą płaszczyznę, ale nie są prostopadłe.

Użycie ortogonalizacji G-S będzie dotyczyło tylko tych dwóch wektorów?
Jeżeli tak, to będzie to nasze rozwiązanie zadania?

[a4karo]

Bierzesz jeden wektor leżący w płaszczyźnie. Drogi to ten ortogonalny. Trzeci dostaniesz z ortogonalizacji lub z iloczynu wektorowej. Musi on leżeć w płaszczyźnie.

[SidCom]

Użycie ortogonalizacji G-S będzie dotyczyło tylko tych dwóch wektorów?
Jeżeli tak, to będzie to nasze rozwiązanie zadania?

Tak...

Bierzemy pierwszy wektor \(\displaystyle{ \vec{a}=[1,1,0]}\) i budujemy \(\displaystyle{ \vec{b'}}\) zgodnie z przepisem GS (weź pierwszy wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\), następnie drugi \(\displaystyle{ \vec{b'}}\) zbuduj poprzez odjęcie składowej \(\displaystyle{ \vec{b}}\)w kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\)):

\(\displaystyle{ \vec{b'}=\vec{b}-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2}} \cdot \vec{a}}\)

czyli \(\displaystyle{ \vec{b'}=\left[\begin{array}{c}4\\0\\-1\end{array}\right]-\frac{4}{2}\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\-2\\-1\end{array}\right]}\)

i mamy dwa wektory ortogonalne rozpinające płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\): \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b'}}\)

Aha, jeszcze ortonormalizacja.
Baza ortonormalna:

\(\displaystyle{ \left\{\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|},\frac{\vec{b'}}{|\vec{b'}|} \right\}}\)