Mam problem z wyznaczeniem bazy ortogonalnej, a później ortonormalnej, gdzie dana jest płaszczyzna. Mógłby ktoś wytłumaczyć jak dokonać poprawnego procesu wyznaczenia tej bazy?
Wiem, że trzeba użyć ortogonalizacji Grama-Schmidta.
\(\displaystyle{ \pi: x-y+4z=0}\)
Ortogonalna baza
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 27 gru 2014, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 27 gru 2014, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Ortogonalna baza
Zakładam, że dwa wektory, które rozpinają tą płaszczyznę i są prostopadłe do wektora normalnego.
Tylko nie wiem czy to jest pytanie do zadania czy pytanie do wskazówek.
//Edit
Skoro mam wektor normalny:
\(\displaystyle{ \vec{n}=[1,-1,4]}\), dodatkowo tworzę sobie dwa prostopadłe wektory.
\(\displaystyle{ \vec{a}=[1,1,0], \vec{b}=[4,0,-1]}\)
W tym momencie mam dwa wektory, które generują tą płaszczyznę, ale nie są prostopadłe.
Użycie ortogonalizacji G-S będzie dotyczyło tylko tych dwóch wektorów?
Jeżeli tak, to będzie to nasze rozwiązanie zadania?
Tylko nie wiem czy to jest pytanie do zadania czy pytanie do wskazówek.
//Edit
Skoro mam wektor normalny:
\(\displaystyle{ \vec{n}=[1,-1,4]}\), dodatkowo tworzę sobie dwa prostopadłe wektory.
\(\displaystyle{ \vec{a}=[1,1,0], \vec{b}=[4,0,-1]}\)
W tym momencie mam dwa wektory, które generują tą płaszczyznę, ale nie są prostopadłe.
Użycie ortogonalizacji G-S będzie dotyczyło tylko tych dwóch wektorów?
Jeżeli tak, to będzie to nasze rozwiązanie zadania?
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Ortogonalna baza
Bierzesz jeden wektor leżący w płaszczyźnie. Drogi to ten ortogonalny. Trzeci dostaniesz z ortogonalizacji lub z iloczynu wektorowej. Musi on leżeć w płaszczyźnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 125 razy
Ortogonalna baza
Tak...Użycie ortogonalizacji G-S będzie dotyczyło tylko tych dwóch wektorów?
Jeżeli tak, to będzie to nasze rozwiązanie zadania?
Bierzemy pierwszy wektor \(\displaystyle{ \vec{a}=[1,1,0]}\) i budujemy \(\displaystyle{ \vec{b'}}\) zgodnie z przepisem GS (weź pierwszy wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\), następnie drugi \(\displaystyle{ \vec{b'}}\) zbuduj poprzez odjęcie składowej \(\displaystyle{ \vec{b}}\)w kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\)):
\(\displaystyle{ \vec{b'}=\vec{b}-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2}} \cdot \vec{a}}\)
czyli \(\displaystyle{ \vec{b'}=\left[\begin{array}{c}4\\0\\-1\end{array}\right]-\frac{4}{2}\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\-2\\-1\end{array}\right]}\)
i mamy dwa wektory ortogonalne rozpinające płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\): \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b'}}\)
Aha, jeszcze ortonormalizacja.
Baza ortonormalna:
\(\displaystyle{ \left\{\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|},\frac{\vec{b'}}{|\vec{b'}|} \right\}}\)