W zależności od parametru \(\displaystyle{ p}\) podać liczbę rozwiązań układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z-t=0 \\ x+3y-z+t=1 \\ x-5y+3z-t=p \end{cases}}\)
. Wyznaczyć te rozwiązania.
Układ równań zależny od parametru
-
MrStupid69
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 11 lis 2014, o 18:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 13 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Układ równań zależny od parametru
Rozwiązań będzie albo zero, albo nieskończenie wiele, bo masz więcej niewiadomych niż równań (a te równania są wszystkie pierwszego stopnia).
Możesz napisać macierz układu i sprowadzić ją do postaci schodkowej.
Możesz napisać macierz układu i sprowadzić ją do postaci schodkowej.
-
MrStupid69
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 11 lis 2014, o 18:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 13 razy
Układ równań zależny od parametru
Sprowadziłem do postaci schodkowej i nie wiem jak wykończyć to zadanie.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Układ równań zależny od parametru
OK, no to eliminacji postać układu równań wychodzi o taka (gdybyś jednakowoż nie sprowadził/miał wątpliwości):
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-y+z-t=0 \\y- \frac{1}{2}z+ \frac{1}{2}t= \frac{1}{4} \\t= \frac{1+p}{2} \end{cases}}\)
Macierz główna po wykonaniu algorytmu wygląda u mnie tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\\0&1& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} \\0&0&0&1\end{array}\right]}\)
A macierz rozszerzona o tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-1&1&-1&0\\0&1& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4} \\0&0&0&1& \frac{1+p}{2} \end{array}\right]}\)
(tam jeszcze powinna być ta kreseczka pionowa, ale nie wiem, jak ją zrobić, a nie lubię się wczytywać w oprogramowanie \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a).
Jako że rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej i mniejszy od liczby zmiennych o \(\displaystyle{ 1}\), to....
Darujemy sobie opisanie przekształceń do tej postaci prowadzących - zwykła metoda eliminacji Gaussa (ten Gauss to element obcy rasowo i koniecznie trzeba go wyeliminować - dlatego wykładowca algebry liniowej u mnie pisał "Gaussa metoda eliminacji").
Aha, i o oczywiście napisałem tam w poprzednim poście bzdurę, bo jeszcze ważne jest to, że żadne z tych równań nie jest kombinacją pozostałych - ale to wynika z tego co otrzymaliśmy, przeprowadziwszy eliminację.
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-y+z-t=0 \\y- \frac{1}{2}z+ \frac{1}{2}t= \frac{1}{4} \\t= \frac{1+p}{2} \end{cases}}\)
Macierz główna po wykonaniu algorytmu wygląda u mnie tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\\0&1& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} \\0&0&0&1\end{array}\right]}\)
A macierz rozszerzona o tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-1&1&-1&0\\0&1& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4} \\0&0&0&1& \frac{1+p}{2} \end{array}\right]}\)
(tam jeszcze powinna być ta kreseczka pionowa, ale nie wiem, jak ją zrobić, a nie lubię się wczytywać w oprogramowanie \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a).
Jako że rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej i mniejszy od liczby zmiennych o \(\displaystyle{ 1}\), to....
Darujemy sobie opisanie przekształceń do tej postaci prowadzących - zwykła metoda eliminacji Gaussa (ten Gauss to element obcy rasowo i koniecznie trzeba go wyeliminować - dlatego wykładowca algebry liniowej u mnie pisał "Gaussa metoda eliminacji").
Aha, i o oczywiście napisałem tam w poprzednim poście bzdurę, bo jeszcze ważne jest to, że żadne z tych równań nie jest kombinacją pozostałych - ale to wynika z tego co otrzymaliśmy, przeprowadziwszy eliminację.