Wymiar obrazu macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
zagubiony_uzytkownik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 10 paź 2015, o 22:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 25 razy

Wymiar obrazu macierzy

Post autor: zagubiony_uzytkownik »

Niech \(\displaystyle{ A \in \mathbb{R}^{10, 10}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{x_1}, ... , \vec{x_7} \in \mathbb{R}^{10}}\) tworzą układ liniowo niezależny. Wiedząc, że zachodzi \(\displaystyle{ A\vec{x_1}=...=A\vec{x_7}}\) udowodnij, że \(\displaystyle{ rank A \le 4}\)

Można prosić o jakąś podpowiedź?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Wymiar obrazu macierzy

Post autor: »

Wektory \(\displaystyle{ \overrightarrow{x_1-x_i}}\) (dla \(\displaystyle{ i=2,3,4,5,6,7}\)) są liniowo niezależne oraz należą do jądra przekształcenia liniowego wyznaczonego przez \(\displaystyle{ A}\). Stąd jądro ma wymiar co najmniej \(\displaystyle{ 6}\), a zatem obraz przekształcenia (którego wymiar to właśnie rząd macierzy) ma wymiar co najwyżej \(\displaystyle{ 4}\).

Q.
ODPOWIEDZ