Forma do postaci kanonicznej i zmiana zmiennych

[nuts]

Cześć, zadanie brzmi Sprowadź formę kwadratową do postaci kanonicznej oraz znajdź odpowiednią zmianę zmiennych (macierz zmiany bazy).
\(\displaystyle{ f(x_{1},x _{2},x _{3})=x _{1} ^{2} +2x _{2} ^{2} +x _{3} ^{2} -2x _{1} x _{2} -2x _{2} x _{3}}\)
Wartości własne: \(\displaystyle{ \lambda _{1} =3}\) \(\displaystyle{ \lambda _{2}=1}\) \(\displaystyle{ \lambda _{3} =0}\)
Postać kanoniczna: \(\displaystyle{ g(y _{1} ,y _{2} ,y _{3} )=y _{1} ^{2} +3y _{2} ^{2}}\).

Proszę o pomoc przy wyznaczaniu zmiany zmiennych. Nie wiem za co się zabrać.

[SidCom]

wektory własne policzyć

[nuts]

Wektory własne to:
\(\displaystyle{ \lambda=1:}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -t\\0\\t\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \lambda=0:}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} t\\t\\t\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \lambda=3:}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} t\\-2t\\t\end{bmatrix}}\)

Co dalej?

[SidCom]

podstaw np. \(\displaystyle{ t=-1}\) i unormuj te wektory

[nuts]

Wektory własne to dla t=1:
\(\displaystyle{ \lambda=1:}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1\\0\\1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \lambda=0:}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \lambda=3:}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\-2\\1\end{bmatrix}}\)

Norma dla:
\(\displaystyle{ \lambda=1}\) \(\displaystyle{ : \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \lambda=0}\) \(\displaystyle{ : \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \lambda=3}\) \(\displaystyle{ : \sqrt{6}}\)

Unormowane wektory:

\(\displaystyle{ \lambda=1:}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{-1}{ \sqrt{2}}\\0\\\frac{1}{ \sqrt{2}}\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \lambda=0:}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{-1} \sqrt{3} }\\\frac{-1} \sqrt{3} }\\\frac{1} \sqrt{3} }\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \lambda=3:}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{-1} {\sqrt{6}}\\\frac{-2} {\sqrt{6}}\\\frac{1} {\sqrt{6}}\end{bmatrix}}\)

Czy to już wszystko ?

Taka powinna być odpowiedź:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2}} &\frac{1}{ \sqrt{6}} &\frac{-1}{\sqrt{3}} \\0&\frac{-2} {\sqrt{6}}&\frac{-1}{ \sqrt{3}} \\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{ \sqrt{6}}&\frac{1} \sqrt{3} }\end{bmatrix}}\)

[SidCom]

No to nasze nowe zmienne tak się wyrażają przez stare:

\(\displaystyle{ y_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}x_1 +\frac{1}{\sqrt{2}}x_3 \\
y_2=\frac{1}{\sqrt{6}}x_1 -\frac{2}{\sqrt{6}}x_2+\frac{1}{\sqrt{6}}x_3 \\
y_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(x_1+x_2+x_3)}\)

i macierz przejścia od bazy kanonicznej do nowej bazy rozpiętej na wektorach własnych:

\(\displaystyle{ X=\mathcal{S} Y}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left[\begin{array}{ccc} \dfrac{-1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
0 & \dfrac{-2}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} &\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right]}\)

[nuts]

Dziękuję. Mniej więcej rozumiem.