Próbuję rozwiązań takie zadanie:
Pierwsza część wydaje się łatwa. Każdy wektor ma \(\displaystyle{ n}\) elementów, a każdy z nich mogę wybrać na \(\displaystyle{ p}\) sposobów, więcIle elementów ma przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p^n}\) wektorów wierszowych \(\displaystyle{ (x_1,\dots,x_n)}\) długości \(\displaystyle{ n}\) nad ciałem skończonym \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p}\) o \(\displaystyle{ p}\) elementach? Ile rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p^n}\) ma równanie \(\displaystyle{ a_1x_1+\dots+a_nx_n=0}\) (gdzie nie wszystkie \(\displaystyle{ a_i\in\mathbb{F}_p}\) są zerami)?
\(\displaystyle{ \left|\mathbb{F}_p^n\right|=p^n}\)
Druga część zdaje się pytać ile wektorów w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p^n}\) jest liniowo zależnych. Wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p^n}\) jest równy \(\displaystyle{ n}\), więc tylko \(\displaystyle{ n}\) wektorów jest liniowo niezależnych. To oznaczałoby, ze rozwiązań jest \(\displaystyle{ p^n-n}\).Czy to co robię jest ok?
Dzięki!