Które z podzbiorów są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni liniowych:
a) \(\displaystyle{ V_{1} = { (x,y) \in R^{2} : x=0 }}\)
b) \(\displaystyle{ V_{2}= {(x,y) \in R^{2} : x=3 }}\)
c) \(\displaystyle{ V_{3}= {(x,y) \in R^{2} : x \ge 0}}\)
d) \(\displaystyle{ V_{3}={(x,y,z) \in R^{3} : 3x-5=0 i 2x-y=0}}\)
Bardzo proszę o wskazówki, bo kompletnie nie wiem jak ruszyć z tym zadaniem, a przykładów jest znacznie więcej
Podprzestrzenie i przestrzenie liniowe
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Podprzestrzenie i przestrzenie liniowe
Sprawdź warunki na podprzestrzeń liniową:
1) \(\displaystyle{ \forall_{v, u \in V_{1}}: v+u \in V_{1}}\)
2) \(\displaystyle{ \forall_{\alpha \in \RR} \forall_{ v \in V_{1}}: \alpha \cdot v \in V_{1}}\)
Często jako trzeci warunek podaje się, że wektor zerowy musi należeć do podprzestrzeni. Przy użyciu tego faktu czasami w szybki sposób można sprawdzić, że jakaś struktura nie jest podprzestrzenią, bo nie zawiera wektora zerowego.
Zobacz na Twój przykład b). Wektory należąće do \(\displaystyle{ V_{2}}\) są postaci \(\displaystyle{ (3,y)}\) gdzie \(\displaystyle{ y \in \RR}\). Czy wektor zerowy jest takiej posatci?
1) \(\displaystyle{ \forall_{v, u \in V_{1}}: v+u \in V_{1}}\)
2) \(\displaystyle{ \forall_{\alpha \in \RR} \forall_{ v \in V_{1}}: \alpha \cdot v \in V_{1}}\)
Często jako trzeci warunek podaje się, że wektor zerowy musi należeć do podprzestrzeni. Przy użyciu tego faktu czasami w szybki sposób można sprawdzić, że jakaś struktura nie jest podprzestrzenią, bo nie zawiera wektora zerowego.
Zobacz na Twój przykład b). Wektory należąće do \(\displaystyle{ V_{2}}\) są postaci \(\displaystyle{ (3,y)}\) gdzie \(\displaystyle{ y \in \RR}\). Czy wektor zerowy jest takiej posatci?
-
stjudent
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 8 gru 2015, o 20:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 14 razy
Podprzestrzenie i przestrzenie liniowe
Czytałam o tych warunkach, ale nie do końca wiem, jak je zastosować w praktyce. Czy mógłby ktoś to pokazać chociaż na jednym przykładzie?
I o co chodzi z tym wektorem zerowym? Jeżeli jest podane, że x=3 ,to podprzestrzeń nie istnieje?-- 5 sty 2016, o 16:11 --Mógłby ktoś pomóc?
I o co chodzi z tym wektorem zerowym? Jeżeli jest podane, że x=3 ,to podprzestrzeń nie istnieje?-- 5 sty 2016, o 16:11 --Mógłby ktoś pomóc?
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Podprzestrzenie i przestrzenie liniowe
Dobrze, dla przykładu więc zróbmy a).
\(\displaystyle{ V_{1}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}: x = 0 \right\} = \left\{ (0,y) \in \RR^{2} \right\}}\)
Bierzemy dwa dowolne wektory z \(\displaystyle{ V_{1}}\). Niech będą to \(\displaystyle{ u=(0,y_{1}), v=(0,y_{2})}\). Sprawdzając pierwszy warunek, musimy je dodać do siebie i zobaczyć, czy ich suma nalezy do \(\displaystyle{ V_{1}}\).
\(\displaystyle{ u+v=(0,y_{1})+(0,y_{2})=(0,y_{1}+y_{2})}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ y_{1}+y_{2} \in \RR}\) więc \(\displaystyle{ (0,y_{1}+y_{2}) \in V_{1}}\). A to oznacza, że dla dowolnych \(\displaystyle{ u, v \in V_{1}}\) suma \(\displaystyle{ u+v \in V_{1}}\) czyli pierwszy warunek jest spełniony.
Drugi warunek sprawdzamy analogicznie. Tym razem bierzemy jeden dowolny wektor z \(\displaystyle{ V_{!}}\) i dowolny skalar \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\). Mnożymy skalar przez wektor i sprawdzamy, czy po pomnożeniu otrzymamy nadal wektor należący do \(\displaystyle{ V_{1}}\).
\(\displaystyle{ \alpha \cdot v= \alpha \cdot (0,y_{1})=(0,\alpha y_{1})}\)
Widać, że \(\displaystyle{ \alpha y_{1} \in \RR}\), więc \(\displaystyle{ (0,\alpha y_{1}) \in V_{1}}\) czyli dla kazdego wektora z \(\displaystyle{ V_{1}}\) jego iloczyn przez dowolony skalar należy do \(\displaystyle{ V_{1}}\). Drugi warunek jest spełniony.
Oczywiście wektor zerowy \(\displaystyle{ (0,0) \in V_{1}}\), więc można już stwierdzić, że \(\displaystyle{ V_{1}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^{2}}\).
\(\displaystyle{ V_{1}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}: x = 0 \right\} = \left\{ (0,y) \in \RR^{2} \right\}}\)
Bierzemy dwa dowolne wektory z \(\displaystyle{ V_{1}}\). Niech będą to \(\displaystyle{ u=(0,y_{1}), v=(0,y_{2})}\). Sprawdzając pierwszy warunek, musimy je dodać do siebie i zobaczyć, czy ich suma nalezy do \(\displaystyle{ V_{1}}\).
\(\displaystyle{ u+v=(0,y_{1})+(0,y_{2})=(0,y_{1}+y_{2})}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ y_{1}+y_{2} \in \RR}\) więc \(\displaystyle{ (0,y_{1}+y_{2}) \in V_{1}}\). A to oznacza, że dla dowolnych \(\displaystyle{ u, v \in V_{1}}\) suma \(\displaystyle{ u+v \in V_{1}}\) czyli pierwszy warunek jest spełniony.
Drugi warunek sprawdzamy analogicznie. Tym razem bierzemy jeden dowolny wektor z \(\displaystyle{ V_{!}}\) i dowolny skalar \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\). Mnożymy skalar przez wektor i sprawdzamy, czy po pomnożeniu otrzymamy nadal wektor należący do \(\displaystyle{ V_{1}}\).
\(\displaystyle{ \alpha \cdot v= \alpha \cdot (0,y_{1})=(0,\alpha y_{1})}\)
Widać, że \(\displaystyle{ \alpha y_{1} \in \RR}\), więc \(\displaystyle{ (0,\alpha y_{1}) \in V_{1}}\) czyli dla kazdego wektora z \(\displaystyle{ V_{1}}\) jego iloczyn przez dowolony skalar należy do \(\displaystyle{ V_{1}}\). Drugi warunek jest spełniony.
Oczywiście wektor zerowy \(\displaystyle{ (0,0) \in V_{1}}\), więc można już stwierdzić, że \(\displaystyle{ V_{1}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^{2}}\).
-
stjudent
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 8 gru 2015, o 20:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 14 razy
Podprzestrzenie i przestrzenie liniowe
Dziękuję bardzo za podpowiedź
Jednak mam jeszcze wątpliwości co do przykładu c). Nie wiem, co podstawić jako "x".
Oraz czy dobrze robię kolejne przykłady, np. :
\(\displaystyle{ V_{4}={(x,y) \in R^{2} : y=3x} = {(0,y) \in R^{2} }}\)
\(\displaystyle{ u=( x_{1}, 3 x_{1}) , v=( x_{2} , 3 x_{2} )}\)
Pierwszy warunek :
\(\displaystyle{ u+v= ( x_{1} + x_{2} , 3 x_{1} + 3 x_{2} )}\)
Drugi warunek:
\(\displaystyle{ \alpha \cdot v = \alpha \cdot ( x_{2} , 3 x_{2} ) = ( \alpha x_{2} , \alpha 3 x_{2} )}\)
(oczywiście wszystko przy w/w założeniach)
Czyli \(\displaystyle{ V_{1}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^{2}}\)
A czy mogłabyś jeszcze pokazać dowolny kontrprzykład, gdzie jeden z warunków się nie zgadza?
Byłabym wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki
Jednak mam jeszcze wątpliwości co do przykładu c). Nie wiem, co podstawić jako "x".
Oraz czy dobrze robię kolejne przykłady, np. :
\(\displaystyle{ V_{4}={(x,y) \in R^{2} : y=3x} = {(0,y) \in R^{2} }}\)
\(\displaystyle{ u=( x_{1}, 3 x_{1}) , v=( x_{2} , 3 x_{2} )}\)
Pierwszy warunek :
\(\displaystyle{ u+v= ( x_{1} + x_{2} , 3 x_{1} + 3 x_{2} )}\)
Drugi warunek:
\(\displaystyle{ \alpha \cdot v = \alpha \cdot ( x_{2} , 3 x_{2} ) = ( \alpha x_{2} , \alpha 3 x_{2} )}\)
(oczywiście wszystko przy w/w założeniach)
Czyli \(\displaystyle{ V_{1}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^{2}}\)
A czy mogłabyś jeszcze pokazać dowolny kontrprzykład, gdzie jeden z warunków się nie zgadza?
Byłabym wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Podprzestrzenie i przestrzenie liniowe
Rozumiem, że \(\displaystyle{ V_{4}}\) to kolejny przykład. Czy warunek jakim opisane jest \(\displaystyle{ V_{4}}\) to \(\displaystyle{ y=3x}\)? Nie wiem, czy dobrze zrozumiałam Twój zapis..
Jeśli mam rację to proponuje zapisać \(\displaystyle{ V_{4}= \left\{ (x,3x) \in \RR \right\}}\)
Dlaczego piszesz \(\displaystyle{ y=3x} = {(0,y) \in R^{2} }}\)? Skąd wzięlo CI się \(\displaystyle{ x=0}\)?
Warunki sprawdziłaś dobrze (jeśli to, co napisałam wyżej jest prawdą). Jedank proponuje zapisać troszkę bardziej precyzyjnie: \(\displaystyle{ u+v= ( x_{1} + x_{2} , 3 x_{1} + 3 x_{2} )=(x_{1}+x_{2},3(x_{1}+x_{2})) \in V_{4}}\).
I tak samo przy drugim warunku dopisać na końcu, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot v = \alpha \cdot ( x_{2} , 3 x_{2} ) = ( \alpha x_{2} , \alpha 3 x_{2} ) \in V_{4}}\).
Poza tym sugeruję jeszcze dopisać, że wektor zerowy należy do \(\displaystyle{ V_{4}}\).
Jeśli chcesz zrobić przykład, gdzie mamy strukturę, która nie jest podprzestrzenią, to tak wyjdzie CI w przykładzie b.
\(\displaystyle{ V_{2}=\left\{(x,y) \in R^{2} : x=3 \right\} =\left\{ (3,y) \in \RR^{2} \right\}}\)
Sprawdzamy pierwszy warunek: Bierzemy dwa dowolne wektory z \(\displaystyle{ V_{2}}\). Niech bedą to \(\displaystyle{ u=(3,y_{1}), v=(3,y_{2})}\). Mamy \(\displaystyle{ u+v=(3,y_{1})+(3,y_{2})=(6,y_{1}+y_{2})}\). Widzimy, że pierwsza współrzedan wektora, któy jest sumą dwóch dowolnych wektorów z \(\displaystyle{ V_{2}}\) jest różna od \(\displaystyle{ 3}\), czyli \(\displaystyle{ u+v \notin V_{2}}\).
Drugiego warunku nie trzeba już sprawdzać, ponieważ pierwszy nie jest spełnniony. \(\displaystyle{ V_{2}}\) nie jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{2}}\).
Jeśli mam rację to proponuje zapisać \(\displaystyle{ V_{4}= \left\{ (x,3x) \in \RR \right\}}\)
Dlaczego piszesz \(\displaystyle{ y=3x} = {(0,y) \in R^{2} }}\)? Skąd wzięlo CI się \(\displaystyle{ x=0}\)?
Warunki sprawdziłaś dobrze (jeśli to, co napisałam wyżej jest prawdą). Jedank proponuje zapisać troszkę bardziej precyzyjnie: \(\displaystyle{ u+v= ( x_{1} + x_{2} , 3 x_{1} + 3 x_{2} )=(x_{1}+x_{2},3(x_{1}+x_{2})) \in V_{4}}\).
I tak samo przy drugim warunku dopisać na końcu, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot v = \alpha \cdot ( x_{2} , 3 x_{2} ) = ( \alpha x_{2} , \alpha 3 x_{2} ) \in V_{4}}\).
Poza tym sugeruję jeszcze dopisać, że wektor zerowy należy do \(\displaystyle{ V_{4}}\).
Jeśli chcesz zrobić przykład, gdzie mamy strukturę, która nie jest podprzestrzenią, to tak wyjdzie CI w przykładzie b.
\(\displaystyle{ V_{2}=\left\{(x,y) \in R^{2} : x=3 \right\} =\left\{ (3,y) \in \RR^{2} \right\}}\)
Sprawdzamy pierwszy warunek: Bierzemy dwa dowolne wektory z \(\displaystyle{ V_{2}}\). Niech bedą to \(\displaystyle{ u=(3,y_{1}), v=(3,y_{2})}\). Mamy \(\displaystyle{ u+v=(3,y_{1})+(3,y_{2})=(6,y_{1}+y_{2})}\). Widzimy, że pierwsza współrzedan wektora, któy jest sumą dwóch dowolnych wektorów z \(\displaystyle{ V_{2}}\) jest różna od \(\displaystyle{ 3}\), czyli \(\displaystyle{ u+v \notin V_{2}}\).
Drugiego warunku nie trzeba już sprawdzać, ponieważ pierwszy nie jest spełnniony. \(\displaystyle{ V_{2}}\) nie jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{2}}\).