Baza dualna

[cis123]

Znajdź bazę \(\displaystyle{ u^{*}_{1}, u^{*}_{2}, u^{*}_{3}, u^{*}_{4}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R[x]^{*}_{3}}\) dualną do bazy \(\displaystyle{ 1, \ 1 + x, \ 1 - x + x^{2}, \ 1 + x - x^{2} + x^{3}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R[x]_{3}.}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, jak się wyznacza bazę dualną wielomianów?

[Spektralny]

Rozważ niezerowy wielomian \(\displaystyle{ f(x)=a+bx+cx^2+dx^3}\) z Twojej przestrzeni a następnie zapisz go jako kombinację liniową

• \(\displaystyle{ f(x) = c_1 + c_2(1+x) + c_3 (1-x+x^2)+c_4(1+x-x^2+x^3)}\)

dla pewnych \(\displaystyle{ c_1, c_2, c_3, c_4}\). Następnie wyznacz \(\displaystyle{ c_1, c_2, c_3, c_4}\) względem \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Baza dualna składa się z funkcjonałów

• \(\displaystyle{ \varphi_i(f) = c_i}\)

dla \(\displaystyle{ i\in\{1,2,3,4\}}\).

[cis123]

czyli
\(\displaystyle{ u^{*}_{4}(f) = d \\
u^{*}_{3}(f) = c + d \\
u^{*}_{2}(f) = b + c + d - d = b + c \\
u^{*}_{1}(f) = a - b - c - c - d - d = a - b - 2c - 2d}\)
tworzą bazę dualną?

[Spektralny]

Jeżeli Twoje obliczenia są poprawne to tak.