Znaleźć wzór przekształcenia

[sakilpl]

Witam, mam następujące wektory

\(\displaystyle{ X_{1} = \left(1,2,3\right), X_{2} = \left( 3,1,1\right), X_{3} = \left( 2,-1,-2\right), X_{4} = (1,-3,-5)}\)
\(\displaystyle{ Y_{1} = \left(0,1,2\right), Y_{2} = \left( 1,1,1\right), Y_{3} = \left( 1,0,-1\right), Y_{4} = (1,-1,-3)}\)

I. Znaleźć bazę i wymiar podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ Lin(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4})}\)
Wpisałem wektory w macierz, policzyłem jej rząd. Wyszedł 2. Do bazy wziąłem wektory \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}}\)

II. Czy istnieje przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R^{3}}\), że \(\displaystyle{ f(X_{i}) = Y_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i \in {1,2,3,4}?}\)

Założyłem, że \(\displaystyle{ f(X_{1}) = Y_{1}}\) i \(\displaystyle{ f(X_{2}) = Y_{2}}\). Pokazałem, że dla pozostałych wektorów zachodzi liniowość

III. Czy przekształcenie z II jest wyznaczone jednoznacznie
Przekształcenie zadane na wektorach bazy jest zawsze wyznaczone jednoznacznie ( to miałem podane na ćwiczeniach )

IV. Jeśli przekształcenie z II istnieje i jest wyznaczone jednoznacznie, znaleźć wzór tego przekształcenia.
Zacząłem od tego, że wektory z bazy kanonicznej \(\displaystyle{ R^{3}}\) pokazałem jako wektory z mojej bazy \(\displaystyle{ (X_{1}, X_{2})}\)
Tutaj pojawił się problem:
\(\displaystyle{ (1,0,0) = \alpha \cdot X_{1} + \beta \cdot X_{2} = ( \alpha + 3 \beta, 2\alpha + \beta, 3\alpha + \beta)}\)
Biorąc pierwsze dwie współrzędne do układu równań wychodzi, że:
\(\displaystyle{ \alpha = -\frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \beta = \frac{2}{5}}\)
Te wartości natomiast nie spełniają 3. równania(\(\displaystyle{ 0 = 3\alpha + \beta}\))
Co zrobiłem nie tak?

[Lorek]

Zacząłem od tego, że wektory z bazy kanonicznej \(\displaystyle{ R^{3}}\) pokazałem jako wektory z mojej bazy \(\displaystyle{ (X_{1}, X_{2})}\)

A kto powiedział, że wektory z bazy kanonicznej będą znajdować się w \(\displaystyle{ \mbox{lin} (X_1,X_2)}\) ? Byłoby to nawet dziwne, bo wektorów z bazy kanonicznej mamy 3, i to liniowo niezależne, a przestrzeń z zadania jest przecież dwuwymiarowa.

[sakilpl]

Jak w takim razie mam znaleźć wzór przekształcenia? I czy w ogóle jest to możliwe? Skoro przekształcenie jest zadane na przestrzeni trójwymiarowej a w bazie mam tylko dwa wektory i nie mogę dołożyć żadnego innego...

[Lorek]

Możesz dodać dowolny wektor liniowo niezależny od nich. Pytanie jaka będzie wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) na tym wektorze i co z tego wynika (patrz punkty II i III).