Czy istnieje przekształcenie liniowe?

[wisnia1996]

Witam, mam problem, bo wychodzi mi co innego, niż w odp. ;/
Mam sprawdzić, czy istnieje takie przekształcenie liniowe:
\(\displaystyle{ \left[1, 3, 1\right] \rightarrow \left[ 3, 3\right], \left[ 1, 4, 0\right] \rightarrow \left[ 5, 1\right], \left[ 1, 5, 3\right] \rightarrow \left[ 8, 3\right] \rightarrow \left[ 1, 3, 7\right] \rightarrow \left[ 5, 11\right]}\)

Wiem, że przekształcenie liniowe istnieje, gdy dla każdych a, b, c, d :
\(\displaystyle{ a\left[1, 3, 1\right] + b\left[ 1, 4, 0\right] + c\left[ 1, 5, 3\right] + d\left[ 1, 3, 7\right] = \left[ 0, 0, 0\right] \Rightarrow a\left[ 3, 3\right] + b\left[ 5, 1\right] + c\left[ 8, 3\right] + d\left[ 5, 11\right] = \left[ 0, 0\right]}\)

Wstawiam więc wektory z lewej str. strzałek w macierz kolumnami i znajduję:
\(\displaystyle{ a = c -d = - \frac{5}{2}d}\)
\(\displaystyle{ b = -2c = 3d}\)
\(\displaystyle{ c = - \frac{3}{2}d}\)
I podstawiam do iloczynu z wektorami po przekształceniu. Jako wynik dostaję:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2}d, 2d \right]}\), co wyniesie \(\displaystyle{ \left[ 0, 0\right]}\) tylko, gdy \(\displaystyle{ d=0}\).
Więc wg mnie odpowiedź jest, że takie przekształcenie nie istnieje, jednak w odp. jest, że istnieje.

[Medea 2]

Wskazówka. Pierwsze trzy wektory są liniowo niezależne, więc stanowią bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\). Czwarty jest ich liniową kombinacją:

\(\displaystyle{ v_4 = \frac 5 2 v_1 - 3v_2 + \frac 3 2 v_3}\).

Ale nałożenie hipotetycznego przekształcenia na obie strony (i skorzystanie z liniowości) daje

\(\displaystyle{ (5, 11) = \left( \frac 9 2 , 9\right)}\),

czyli nonsens. Przekształcenie nie istnieje.