Przekształcenia liniowe

[cis123]

Niech \(\displaystyle{ f \in L(X,Y)}\) będzie przekształceniem liniowym oraz niech \(\displaystyle{ U \subseteq X}\).
Pokaż, że zbiór
\(\displaystyle{ f(U) = \{ y \in Y : y = f(u) \ dla \ pewnego \ u \in U\} \subseteq Y}\)
jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ Y}\)

[szw1710]

Skorzystaj z warunku równoważnego bycia podprzestrzenią liniową w połączeniu z definicją odwzorowania liniowego.

[cis123]

Z tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest przekształceniem liniowym wiemy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ u_{1}, u_{2} \in U}\) i dowolnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \RR}\) mamy:
\(\displaystyle{ f(\alpha_{1} u_{1} + \alpha_{2} u_{2}) = \alpha_{1} f(u_{1}) + \alpha_{2} f(u_{2})}\)

Aby pokazać, że podany zbiór jest podprzestrzenią liniową, weźmy dowolne \(\displaystyle{ y_{1}, y_{2} \in f(U)}\). Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ y_{1} = f(u_{1}), y_{2} = f(u_{2}) \ dla \ pewnych \ u_{1}, u_{2} \in U \\
y_{1} + y_{2} = f(u_{1}) + f(u_{2}) = f(u_{1} + u_{2})}\)

Teraz weźmy dowolny \(\displaystyle{ y \in f(U)}\) oraz dowolny skalar \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ y = f(u) \ dla \ pewnego \ u \in U \\
\alpha y = \alpha f(u) = f(\alpha u)}\)

dobrze?

[szw1710]

Same rachunki w porządku. Musisz jednak napisać, do czego one prowadzą i jak z nich wynika, że \(\displaystyle{ f(U)}\) jest podprzestrzenią. Za rozwiązanie w takiej postaci miałbyś u mnie 2 punkty na 5 możliwych.

[cis123]

te rachunki mają prowadzić do tego, że
1) \(\displaystyle{ y_{1} + y_{2} \in f(U)}\)
2) \(\displaystyle{ \alpha y \in f(U)}\)
tylko nie za bardzo wiem jak to uzasadnić

[szw1710]

Przecież niemal masz to zapisane. Co to znaczy, że \(\displaystyle{ y_1+y_2\in f(U)}\)?

[cis123]

no to jest jeden z warunków na bycie podprzestrzenią liniową.
Z tego wynika, że istnieje \(\displaystyle{ u \in U}\) takie, że \(\displaystyle{ f(u) = y_{1} + y_{2}}\)

[szw1710]

Inna kolejność: skoro \(\displaystyle{ y_1+y_2=f(u)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ u\in U}\), to \(\displaystyle{ y_1+y_2\in f(U)}\).

Dobrej nocy.