Podnoszenie macierzy do wysokiej potęgi (Postać Jordana)

[Transpluton]

Jeżeli \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right]}\), wyznacz \(\displaystyle{ A ^{2010}}\).

Czy mógłby ktoś zweryfikować moje obliczenia, bo wychodzą astronomiczne liczby i w żadnej aplikacji nie potrafię sprawdzić wyniku, a bardzo zależy mi na poprawnym zrozumieniu postaci Jordana.

Wyszło mi \(\displaystyle{ A ^{2010}=\left[\begin{array}{ccc}2 ^{2009} &-2 ^{2009}+2 ^{2010}+2010 &2 ^{2009} \\0&2 ^{2010} &0\\2^{2009}&-2^{2009}+2010&2^{2009}\end{array}\right]}\).

W razie potrzeby podaję postać Jordana oraz macierze przejścia:
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&2^{2010}&2010\\0&0&2^{2010}\end{array}\right]}\),
\(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right]}\),
\(\displaystyle{ P ^{-1} =\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\0&1&0\end{array}\right]}\).

[a4karo]

\(\displaystyle{ \det P=1}\), więc chyba \(\displaystyle{ P^{-1}}\) jest żle policzone

[norwimaj]

\(\displaystyle{ P^{-1}}\) jest dobrze, tylko w \(\displaystyle{ P}\) brakuje jedynki w wektorze własnym \(\displaystyle{ (1,0,1).}\) (druga kolumna)

Klatka Jordana jest źle podniesiona do potęgi.

[Transpluton]

Dziwne, po wpisaniu polecenia na wolframie wychodzi, że \(\displaystyle{ P,J,P^{-1}}\) są poprawne, pozostaje doliczyć \(\displaystyle{ A^{2010}}\), bo ona chyba jednak jest źle...

[norwimaj]

Nie rozmawiałem z Wolframem na ten temat, ale na oko widać, że wektorem własnym jest \(\displaystyle{ (1,0,1),}\) a nie \(\displaystyle{ (1,0,0).}\)

[Transpluton]

A kolejne wektory nie zastępujemy kolumnami macierzy przejścia \(\displaystyle{ P}\)?

[norwimaj]

Nie wiem, o czym piszesz. Wiem tylko, że

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}-1&1&1\\0&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}0&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}-1&1&1\\0&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}^{-1}}\)

A Ty co twierdzisz?

[Transpluton]

Dziękuję za pomoc, zamieszałem... Przepraszam...