Jak wyglada baza standardowa jako układ równan?

[KM_20]

Aktualnie pracuje nad alternatywnymi metodami zapisu przestrzeni wektorowej - z tego co dotychczas rozumiem mozemy opisac jako:
1) Zbior liniowych kombinacji bazy \(\displaystyle{ lin\{v_1, ..., v_n\}}\)
lub
2) Uklad rownan, ktorego rozwiazaniami jest przestrzen wektorowa: \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1+...+x_n = 0 \\ ...\end{array} \right.}\)


I pomocniczo w postaci parametrycznej ogolnego wzoru wektora: \(\displaystyle{ (a, b, c, d , e, ...)}\)

I tutaj moje pytanie dotyczace przykldu trywialnego, wokol ktorego nie moge sobie owinac glowy:

Jak wyglada baza standardowa \(\displaystyle{ R^n}\) zapisana w postaci ukladu rownan?

Moje rozumowanie w \(\displaystyle{ R^2}\):
Mamy \(\displaystyle{ lin\{(0,1), (1,0)\}}\) i mamy wyznaczyc \(\displaystyle{ a_1, a_ 2}\) w \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a_1x_1+ a2_x2 = 0 \\ a_1x_1+ a_2x_2 = 0\end{array} \right.}\)

Wstawiajac te wektory pod \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a_2 = 0 \\ a_1 = 0 \end{array} \right.}\)
zatem
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_2 = 0 \\ x_1 = 0 \end{array} \right.}\)

Jednakze uklad rownan to koniunkcja zatem powiedzialbym ze jedynym rozwiazaniem powyzszego ukladu jest \(\displaystyle{ (0,0)}\) co nie jest wektorem nalezacym do bazy naszej przestrzeni wektorowej.

Gdzie popelniam blad?

[bartek118]

Wstawiajac te wektory pod \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a_2 = 0 \\ a_1 = 0 \end{array} \right.}\)
zatem
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_2 = 0 \\ x_1 = 0 \end{array} \right.}\)

Zły wniosek.
Zatem układ jest postaci:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0=0 \\ 0 = 0 \end{array} \right.}\)

[PiotrowskiW]

Źle rozwiązujesz układ równań, który i tak jest bez sensu. Nie wiesz co to jest liniowa niezależność.
Nie wiem co tu można pomóc.

[KM_20]

Ok, teraz z tego co rozumiem to uklad rozwiazan jest \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0 = 0\end{array} \right.}\) czyli wszystkie wektory w \(\displaystyle{ R^2}\).

Dziekuje za pomoc.

[a4karo]

To jest dość dziwne odkrycie: przestrzeń liniowa zapisujemy jako zbiór rozwiązań układu równań liniowych \(\displaystyle{ 0=0}\). Intrygujące...