Obliczyć wyznacznik macierzy X

[mac18]

Obliczyć wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ A ^{T} X B ^{-1} A = 2A}\)

wiedząc, że \(\displaystyle{ B}\) jest macierzą kwadratową o kolumnach \(\displaystyle{ [B _{1},B _{2} ,B _{3} ,B _{4} ]}\), \(\displaystyle{ detB = 1}\) a macierz \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą o kolumnach \(\displaystyle{ [2B _{1} - B _{2}, B _{2} - B _{3}, B _{3}, B _{3} - B _{4}]}\)

Siemka. w tym zadaniu mam problem z wykorzystaniem informacji o kolumnach macierzy \(\displaystyle{ A}\) w celu wyznaczenia jej wyznacznika. Proszę o pomoc

[leg14]

Skorzystaj z tych rzeczy:

1) macierz A to macierz B po zastosowaniu do niej pewnych operacji elemntarnych na kolumnach-zastanow sie,ktore zmianiaja wyznacznik i go oblicz
2) wyznacznik macierzy A transponowanej to wyznacznik macierzy A
3) twierdzenie Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu

[mac18]

Wyznacznik nie zmieni się jeśli do elementów kolumny dodamy odpowiednie odpowiadające im elementy z innej kolumny pomnożone przez stałą. Jenak pomnożenie całej kolumny przez stałą to co innego. Trzeba rozbić pierwszą macierz na dwie, z pierwszej wyciągnąć \(\displaystyle{ 2}\) a z drugiej \(\displaystyle{ -1}\). Tak ?

[leg14]

A w jaki sposob rozbijesz pozostale kolumny?Poza tym nie wiesz jak wyglada wyznacznik sumy macierzy.Jezeli przemnozysz kolumne przez 2 to wtedy wyznacznik tez Ci sie mnozy przez 2.

[mac18]

No dobra, chwilę się namyśliłem i poczytałem i sądzę, że powinno być tak:

\(\displaystyle{ detB = det[B _{1},B _{2},B _{3},B _{4}]}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{16} detB = det[2 \cdot B _{1},B _{2},B _{3},B _{4}]}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{16} detB = det[2 \cdot B _{1} - B _{2},B _{2},B _{3},B _{4}]}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{16} detB = det[2 \cdot B _{1} - B _{2},B _{2} - B _{3},B _{3},B _{4}]}\)
\(\displaystyle{ (-1)\cdot \frac{1}{16} detB = det[2 \cdot B _{1} - B _{2},B _{2} - B _{3},B _{3},- B _{4}]}\)
\(\displaystyle{ (-1)\cdot \frac{1}{16} detB = det[2 \cdot B _{1} - B _{2},B _{2} - B _{3},B _{3},- B _{4} + B _{3}]}\)

jeśli nadal jest źle, to prosiłbym o większą pomoc

[leg14]

Czemu mnozysz tam przez \(\displaystyle{ \frac{1}{16}}\) ?
Pomnozenie wiersza badz kolumny przez stala powoduje pomnozenie wyznacznika macierzy przez te sama stala.