Wyznaczanie bazy obrazu odwzorowania liniowego

[Transpluton]

\(\displaystyle{ f:R ^{3} \rightarrow R ^{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x+y-z,2x+z)}\).

Baza obrazu wynosi:
\(\displaystyle{ lin[(1,2),(1,0),(-1,1)]}\), czy \(\displaystyle{ lin[(1,2),(0,-2)]}\)?

[VillagerMTV]

Ilu wymiarową przestrzenią jest obraz?

[Transpluton]

\(\displaystyle{ dim~Im~f=2}\), zatem?

[VillagerMTV]

A co możesz powiedzieć o bazie? Wystarczy w sumie definicja

[Transpluton]

Wymiar bazy obrazu równa się rzędowi macierzy odwzorowania, czyli propozycja pierwsza?

[VillagerMTV]

Bazą to maksymalna ilość wektorów liniowo niezależnych, które tworzą całą przestrzeń. Druga część jest spełniona (a przynajmniej w to wierzę), zostaje Twoje pytanie. Skoro sam napisałeś, że przestrzeń jest wymiaru dwa to ile jest wektorów liniowo niezależnych w takiej przestrzeni (maksymalna ilość oczywiście)?

[Transpluton]

Ciśnie się na usta odpowiedź dwa wektory, czyli jednak propozycja druga...

[VillagerMTV]

Tak się ciśnie. Zauważ, że pierwsza propozycja nie jest bazą, bo wektory są współliniowe.

[Transpluton]

Dziękuję za naprowadzenie

[a4karo]

A jak uzasadnisz, że \(\displaystyle{ [0,-2]}\) jest w obrazie?

[Transpluton]

Na podstawie sposobu użytkownika Cod: 11182.htm
Czyżby \(\displaystyle{ [0,-2]}\) było nie w porządku?

[a4karo]

Pewnie jest, ale powinieneś wskazać takie \(\displaystyle{ x,y,z}\) dla których \(\displaystyle{ f(x,y,z)=[0,-2]}\)

[Transpluton]

To w takim razie odpowiedź \(\displaystyle{ lin[(1,2),(0,-2)]}\) nie kończy rozwiązania zadania?

[a4karo]

Jeżeli pokażesz, że oba te wektory są w obrazie, to kończy.

Baza przestrzeni musi w tej przestrzeni być.

Nawiasem mówiąc podałęś, ale nie udowodniłeś, że wymiar obrazu wynosi 2.