Rozwiązania w zależności od parametru.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Rozwiązania w zależności od parametru.

Post autor: NogaWeza »

Witam.

Mam wyznaczyć wartości rzeczywistego parametru \(\displaystyle{ a}\) dla których układ posiada jedno niezerowe rozwiązanie.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y(1+a) = -a \\ x(2-a) + y = -2 \\ 2x + ay = 1-a \end{cases}}\).

Aby układ posiadał rozwiązanie to z twierdzenia Kroneckera-Capelliego rząd macierzy musi być równy rzędowi macierzy uzupełniony i równy liczbie niewiadomych.

Macierz uzupełniona \(\displaystyle{ A_u = \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\(2-a)&1&-2\\2&a&(1-a)\end{array}\right]}\)

No to przekształcam, żeby otrzymać coś sensownego.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\0&1 - (1+a)(2-a)&-2 +a(2-a)\\0&a - 2 - 2a&1 - a + 2a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\0&a^2 - a - 1&-a^2 +2a - 2\\0&-a-2&1 + a\end{array}\right]}\)

Najpierw macierz główna.

\(\displaystyle{ rankA=2 \Leftrightarrow a \neq -2 \wedge a^2 - a - 1 \neq 0}\) zgadza się?

Co się zaś tyczy macierzy uzupełnionej, to:

\(\displaystyle{ rankA_u = 2 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{ccc}a^2 - a - 1&-a^2 +2a -2\\-a-2&1+a\end{array}\right| \neq 0}\)

Wydaje mi się, że powyższy warunek zagwarantuje mi, że ostatnie dwa wiersze macierzy uzupełnionej będą liniowo niezależne, czyli jej rząd będzie równy \(\displaystyle{ 2}\). Mam rację?

Po rozwiązaniu tych warunków trzeba oczywiście jeszcze sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ a}\) rozwiązanie jest zerowe i ten wartości parametry z odpowiedzi wykluczyć.

Dobrze myślę, czy gdzieś mam błąd w rozumowaniu?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Rozwiązania w zależności od parametru.

Post autor: »

Chyba się zgadza, ale to dość skomplikowane rozwiązanie.

Prościej byłoby najpierw policzyć wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A_u}\) - jeśli jest niezerowy, to rząd tej macierzy jest równy trzy i na pewno jest większy niż rząd \(\displaystyle{ A}\) (a tu chyba akurat \(\displaystyle{ |A_u|=-5}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\)). Natomiast gdyby dla jakichś \(\displaystyle{ a}\) ten wyznacznik był równy zero, to wtedy można dla każdego takiego \(\displaystyle{ a}\) sprawdzić osobno.

Q.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Rozwiązania w zależności od parametru.

Post autor: a4karo »

Najpierw macierz główna.

\(\displaystyle{ rankA=2 \Leftrightarrow a \neq -2 \wedge a^2 - a - 1 \neq 0}\) zgadza się?

Co się zaś tyczy macierzy uzupełnionej, to:

\(\displaystyle{ rankA_u = 2 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{ccc}a^2 - a - 1&-a^2 +2a -2\\-a-2&1+a\end{array}\right| \neq 0}\)
Skąd takie wnioski? Uzasadnij

PS czy to przekształcenie jest sensowne ocenia potomni, ale sa prostsze metody
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Rozwiązania w zależności od parametru.

Post autor: NogaWeza »

\(\displaystyle{ rankA=2 \Leftrightarrow a \neq -2 \wedge a^2 - a - 1 \neq 0}\) - no bo gdyby któreś z tych wyrażeń było zerem, to rząd byłby \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).

A z tym wyznacznikiem w macierzy uzupełnionej tak wymyśliłem, bo nie miałem ochoty tego sprowadzać metodami elementarnymi do macierzy trójkątnej.

No ale rzeczywiście, zaćmiło mnie trochę, pomysł z wyznacznikiem \(\displaystyle{ A_u}\) wydaje się lepszy.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Rozwiązania w zależności od parametru.

Post autor: a4karo »

NogaWeza pisze:\(\displaystyle{ rankA=2 \Leftrightarrow a \neq -2 \wedge a^2 - a - 1 \neq 0}\) - no bo gdyby któreś z tych wyrażeń było zerem, to rząd byłby \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).
A niby dlaczego?
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Rozwiązania w zależności od parametru.

Post autor: NogaWeza »

Mówimy o macierzy \(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&\\0&a^2 - a - 1&\\0&-a-2\end{array}\right]}\).

Aha, no to wyszło na to, że kłamałem. Aby rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\) był równy \(\displaystyle{ 1}\) to musi być \(\displaystyle{ a = -2 \wedge a^2 - a - 1 = 0}\). W pozostałych przypadkach rząd jest równy \(\displaystyle{ 2}\), zgadza się?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Rozwiązania w zależności od parametru.

Post autor: a4karo »

Z rzędem \(\displaystyle{ A_u}\) też coś namieszałeś...
Może lepiej od trzeciego wiersza odjąć pierwszy?
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Rozwiązania w zależności od parametru.

Post autor: NogaWeza »

Może spróbuję inaczej.

\(\displaystyle{ rankA_u = rank\left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\(2-a)&1&-2\\2&a&(1-a)\end{array}\right] = ...}\)

\(\displaystyle{ w_2 \rightarrow w_2 - (2-a)w_1}\)
\(\displaystyle{ w_3 \rightarrow w_3 - 2w_1}\)

\(\displaystyle{ ... = rank\left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\0&a^2 - a - 1&-a^2 +2a - 2\\0&-a-2&1 + a\end{array}\right]=...}\)

\(\displaystyle{ w_3 \rightarrow (a^2 - a - 1)w_3 + (a+2)w_2}\)

\(\displaystyle{ ...= rank\left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\0&a^2 - a - 1&-a^2 +2a - 2\\0&0&-5\end{array}\right]}\)

Bałem się tych kwadratów, a wyszło przyzwoicie. Mam macierz schodkową i teraz jakoś łatwiej może będzie mi coś wywnioskować.

Aby \(\displaystyle{ rankA = 2}\) musi zachodzić \(\displaystyle{ a^2 -a - 1 = 0}\), prawda?

Co w przypadku \(\displaystyle{ rankA_u}\)? Wydaje mi się, że ten drugi wiersz musi się zerować, tak?

Edit: Jeszcze takie szybkie pytanie trochę niezwiązane z tematem. Jaki symbol powinienem pisać pomiędzy macierzami wykonując przekształcenia elementarne (np. podczas rozwiązywania układu równań metodą Gaussa)? Na pewno nie równość, powiedziałbym, że \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\), ale wolę się upewnić.
ODPOWIEDZ