Wyznaczanie rzędu macierzy

[Transpluton]

\(\displaystyle{ A=$$\left[\begin{array}{ccc}
1&-a&1\\
-2&-1&-1\\
2&-1&0\\
-1&-a&-2\
\end{array}\right]}\)

Rząd tej macierzy wynosi 3.
Jakim sposobem można go wyznaczyć?

[szw1710]

Weź minor złożony z pierwszych trzech wierszy i zobacz, kiedy się zeruje. Potem zobacz czy inny minor zeruje się dla takiego \(\displaystyle{ a}\).

[Transpluton]

Rząd macierzy jest równy 3 dla \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}
\setminus \left\{ - \frac{3}{2};-\frac{7}{2} \right\}}\).

Pomijając prawidłowość obliczeń, wyciągam wnioski: w tych dwóch wartościach \(\displaystyle{ a}\) jeden z dwóch rozpatrywanych minorów równa się 0, zatem jeżeli rozpatruję jakiś układ równań, to dla tych wartości muszę sprawdzić co się dzieje z liczbą rozwiązań...
Czy moje rozumowanie jest w porządku?

Prócz tego muszę jeszcze sprawdzić macierz uzupełnień, prawda?

[szw1710]

Na razie mniejsza o układ równań. Pytasz o rząd. Tak więc twierdzę, że nie ma \(\displaystyle{ a}\), które zerowałoby wszystkie minory stopnia 3. Dlatego zawsze przynajmniej jeden jest niezerowy.

Dobrej nocy.

[Transpluton]

Już wszystko jasne, źle podszedłem do tego zadania, dziękuję za pomoc...

[SlotaWoj]

Rząd macierzy jest równy 3 dla \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{3}{2};-\frac{7}{2}\right\}}\).

A to skąd się wzięło?

Minory stopnie 3 tej macierzy są następujące:

• \(\displaystyle{ 2a-7 \\
  1-6a \\
  4a+1 \\
  2a+3}\)

Ponieważ nie ma takiego \(\displaystyle{ a}\), dla którego wszystkie byłyby równe 0, więc rząd macierzy jest równy 3.

[Transpluton]

Dziękuję, faktycznie nie rozpatrzyłem jeszcze dwóch minorów...

[szw1710]

Jeśli już pojawiło się całe rozwiązanie (czego nie akceptuję, bo podałem wskazówkę, a Ty z niej skorzystałeś), to powiem, że nie trzeba patrzeć na aż cztery. Jeśli \(\displaystyle{ a=\frac{7}{2}}\), to pierwszy się zeruje, ale drugi już nie i OK. Jeśli \(\displaystyle{ a\ne\frac{7}{2}}\), to pierwszy się nie zeruje. Wymaga się istnienia minora niezerowego.

[a4karo]

A najprościej odjąć od pierwszego wiersza wiersz czwarty i sprawdzić, że minor 3x3, w którym nie występuje zmienna \(\displaystyle{ a}\) jest niezerowy.