Witam. Mam problem z zadaniem:
Znaleźć przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ F}\) w bazie kanonicznej takie, że:
a) \(\displaystyle{ F: \mathbb{R} ^{3} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}, Im F=Lin(\mathfrak{B} \cdot \begin{bmatrix} 1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\))
b)\(\displaystyle{ F: \mathbb{R} ^{4} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}, Ker F=Lin(\mathfrak{B} \cdot \begin{bmatrix} 1&0\\2&1\\3&1\\4&1\end{bmatrix}}\))
a)Tutaj wymyśliłem coś takiego:
Sprowadzam macierz do postaci schodkowej, zredukowanej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix}}\) Stąd wynika, że te dwa wektory zapisane w kolumnach macierzy są bazą przestrzeni liniowej, więc aby otrzymać macierz przekształcenia, muszę dobrać jeszcze jeden wektor liniowo zależny z nimi np. \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5\\7\\9\end{bmatrix}}\)
Macierz przekształcenia ma postać: \(\displaystyle{ \mathcal{M} ^{\mathfrak{B}} _{\mathfrak{B}}(F) = \begin{bmatrix} 1&4&5\\2&5&7\\3&6&9\end{bmatrix}}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne?
Punktu b) nie umiem zrobić.