Baza przestrzeni.

[NogaWeza]

Witam serdecznie. Mam zadanie.

Dane są cztery wektory, spośród których mam wybrać bazę pewnej rzeczywistej przestrzeni wektorowej.
\(\displaystyle{ v_1 = (1,3,1,-1)}\)
\(\displaystyle{ v_2 = (2,4,0,-6)}\)
\(\displaystyle{ v_3 = (0,2,2,4)}\)
\(\displaystyle{ v_4 = (0,1,-1,-5)}\)

A przestrzeń, której bazę mam wybrać to \(\displaystyle{ V = \left\{ (x,y,z,w): \quad x + y - 3z + w = 0, \quad 2x - y + z =0 \right\}}\)

Rozpocznę może od wyznaczenia bazy tej przestrzeni, a potem zastanowię się jak wybrać te wektory. Mam dwa warunki przynależności do przestrzeni, no to mogę z nich zrobić układ równań i je rozwiązać, prawda?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y -3z + w = 0 \\ 2x - y + z = 0\end{cases}}\).
Widzę cztery niewiadome i dwa równania, zatem od razu przyjmę \(\displaystyle{ z = t, \quad w = u, \quad t,u \in \mathbb{R}}\)

Wyszło:
\(\displaystyle{ x = \frac{2}{3}t - \frac{1}{3}u}\) oraz \(\displaystyle{ y = \frac{7}{3}t - \frac{2}{3}u}\).

W obliczu zaistniałej sytuacji pokuszę się o stwierdzenie, że dowolny element przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) da się przedstawić jako
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3}t - \frac{1}{3}u, \frac{7}{3}t - \frac{2}{3}u, t, u \right) = t\left( \frac{2}{3}, \frac{7}{3}, 1, 0\right) + u \left( \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}, 0, 1\right)}\).

Można by powiedzieć, że wektory

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3}, \frac{7}{3}, 1, 0\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}, 0, 1\right)}\) generują przestrzeń \(\displaystyle{ V}\), prawda?

Zauważam, że \(\displaystyle{ v_2 = -6\left( \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}, 0, 1\right)}\) oraz, że

\(\displaystyle{ v_3 = 2 \left( \frac{2}{3}, \frac{7}{3}, 1, 0\right) + 4 \left( \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}, 0, 1\right)}\).

Dlatego też jako bazę mogę wybrać wektory \(\displaystyle{ v_2}\) i \(\displaystyle{ v_3}\).


W zadaniu pytają mnie o jeszcze jedną rzecz, mianowicie chcą, abym tę bazę uzupełnił do bazy jeszcze innej przestrzeni: \(\displaystyle{ W = \left\{ (x,y,z,w): 3x -2z + w = 0 \right\}}\).

No to tak jak poprzednio przyjmuję parametry, niech będzie \(\displaystyle{ z = t, \quad w = u, \quad t,u \in \mathbb{R}}\), a \(\displaystyle{ y}\) niech pozostanie \(\displaystyle{ y}\)-kiem.

No to ponownie, dowolny wektor przestrzeni mogę przedstawić jako:

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3}t - \frac{1}{3}u, y, t, u\right) = t\left( \frac{2}{3}, 0, 1, 0\right) + u \left( \frac{-1}{3}, 0, 0, 1\right) + y \left( 0,1,0,0\right)}\)

Generatorami przestrzeni są zatem wektory:
\(\displaystyle{ (2,0,3,0), (-1, 0, 0, 3), (0,1,0,0)}\)

No ale tu nie widzę jak mając \(\displaystyle{ v_2}\) i \(\displaystyle{ v_3}\) uzupełnić to do powyższej bazy. Siedzę nad tym już chwilę i nie mogę nic wymyślić. Być może to późna pora, ale i tak proszę o pomoc.

Chętnie przyjmę wszystkie komentarze dotyczące mojego dotychczasowego rozwiązania. Na przykład taka sytuacja w jakiej utknąłem - czy da się to zrobić jakąś fajną metodą czy muszę po prostu wykazać się sprytem i wymyślić coś gapiąc się w te współrzędne wektorów? No i generalnie, czy takie rozwiązanie jest poprawne?
Z góry dziękuję za pomoc.

[a4karo]

Wektory, które wyliczyłes dosyć słabo spełniaja równania...
Przestrzeń opisana równaniami jest dwuwymiarowa, więc trzech niezależnych wektorów nie pomieści.

Aby rozwiązać to zadania najprościej sprawdzić które z czterech wektorów należą do tej przestrzeni. Jak znajdziesz dwa niezależne, to wystarczy.