Witam.
Rozpatrywałem przestrzeń wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) nad ciałem liczb rzeczywistych. Oczywistym jest, że bazę tej przestrzeni jest \(\displaystyle{ \left\{ 1, x, x^2 , ... , x^n\right\}}\).
Teraz niech będzie dana przestrzeń wielomianów zerujących się w \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\), tj. \(\displaystyle{ \Pi_n (a) = \left\{ f \in \Pi_n: f(a) = 0 \right\}}\). No to skoro \(\displaystyle{ f(a) = 0}\), to możemy zapisać, że \(\displaystyle{ f(x) = (x-a) g(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x) \in \Pi_{n-1}}\).
Bazą \(\displaystyle{ \Pi_{n-1}}\) jest \(\displaystyle{ {1,x,...,x^{n-1}}}\), zatem za bazę \(\displaystyle{ \Pi_n (a)}\) możemy przyjąć \(\displaystyle{ \left\{ (x-a), x(x-a), x^2 (x-a), ... , x^{n-1} (x-a)\right\}}\), zgadza się?
No to teraz chciałbym spróbować wyznaczyć bazę \(\displaystyle{ \Pi_n (a), \quad a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}}\), czyli \(\displaystyle{ \mbox{Im}(a) \neq 0}\).
Spróbuję posłużyć się analogią z poprzedniego przypadku. Wiem, że \(\displaystyle{ f(a) = 0}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) = (x-a) g(x), \quad g(x) \in \Pi_{n-1}}\).
Wielomian jest rzeczywisty, zatem liczba \(\displaystyle{ \overline{a}}\) również jest jego pierwiastkiem, więc zapisuję \(\displaystyle{ f(x) = (x-a)(x - \overline{a}) h(x), \quad h(x) \in \Pi_{n-2}}\).
\(\displaystyle{ (x-a)(x- \overline{a} = x^2 -x \overline{a} ) - xa + a \overline{a} = x^2 -2\mbox{Re}(a)x + |a|^2}\)
Czy mogę zatem po prostu za bazę \(\displaystyle{ \Pi_n (a)}\) dla \(\displaystyle{ a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}}\) przyjąć
\(\displaystyle{ (x^2 -2\mbox{Re}(a)x + |a|^2\right\ ), x(x^2 -2\mbox{Re}(a)x + |a|^2\right\ ), ... , x^{n-2} (x^2 -2\mbox{Re}(a)x + |a|^2\right\ )}\)?
Proszę o krytykę i komentarze co do mojego rozumowania. Pozdrawiam.