Wektory prostopadłe

[trier77]

Witam, Jestem nauczycielem chemii w trakcie kursu przygotowującego do nauczania fizyki. Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań. Z góry dziękuje Damian.

Zadanie 1. Kiedy wektor\(\displaystyle{ \beta \vec{b} + \alpha \vec{c}}\) jest \(\displaystyle{ \perp}\) do wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\)

[wiedzmac]

Kiedy iloczyn skalarny wektorów tych daje \(\displaystyle{ 0}\). Trochę mało informacji by powiedzieć konkretniej.

[trier77]

No to zadanie, w którym jest więcej informacji
Zadanie 2
Wektor \(\displaystyle{ \vec{a} (5,3,-4)}\) rozłożyć na dwa wektory składowe, z których jeden jest równoległy, a drugi prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{b} (1,1,0)}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha \left[1,1,0 \right] +\left[ p,q,r\right]= \left[ 5,3,-4 \right] \\ \left( \alpha \left[1,1,0 \right] \right) \circ\left[ p,q,r\right]= 0 \end{cases} \\

\begin{cases} \alpha +p=5\\ \alpha +q=3 \\ \alpha \cdot 0+r=-4 \\ \alpha p+ \alpha q+0 \cdot (-4)=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}p=5\\q=3\\r=-4\\ \alpha =0 \end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} p=1\\q=-1\\r=-4 \\ \alpha =4 \end{cases}}\)

[trier77]

Zadanie 3
Jaki warunek muszą spełniać współrzędne punktu \(\displaystyle{ P (x,y,z)}\) aby wektor łączący początek układu współrzędnych z punktem \(\displaystyle{ A (3,2,-5)}\) był prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{AP}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \vec{OA}\circ \vec{AP}=0 \\ \left[ 3-0, 2-0,-5-0\right] \circ\left[ x-3,y-2,z-(-5)\right]=0 \\
3(x-3)+2(y-2)-5(z+5)=0}\)

Inaczej.
Do wektora OA jest prostopadła cała płaszczyzna. Jest on jej wektorem normalnym i stąd równanie płaszczyzny:
\(\displaystyle{ 3x+2y-5z+D=0}\)
Jest ona zaczepiona w punkcie A:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3+2 \cdot 2-5 \cdot (-5)+D=0 \\ D= -38}\)
Twój punkt musi należeć do płaszczyzny:
\(\displaystyle{ 3x+2y-5z-38=0}\)