Mam narysować zbiór l. zespolonych \(\displaystyle{ z}\), dla których:
\(\displaystyle{ 0 < arg( z^{3}) < \frac{\pi}{2}}\)
Dokonałem przekształceń i wyszło mi, że spełnione będzie dla \(\displaystyle{ k = 0}\), \(\displaystyle{ k = -1}\) i \(\displaystyle{ k = -2}\). Czy dobrze to zrobiłem?
Liczby zespolone na płaszczyźnie
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Liczby zespolone na płaszczyźnie
Przyznam, że nie wiem o co chodzi w ostatnim Twoim zdaniu gdyż nigdzie nie definiujesz ,,k'.
Niech \(\displaystyle{ z=\left| z\right| e ^{i \alpha }}\)
Wtedy \(\displaystyle{ z^3=\left| z\right|^3 e ^{i 3 \alpha }}\)
\(\displaystyle{ 0< arg (z^3)< \frac{ \pi }{2} \\
0+k2 \pi < arg (z^3)< \frac{ \pi }{2} +k2 \pi \ \ , \ \ k \in \CC \\
k2 \pi < 3 \alpha < \frac{ \pi }{2} +k2 \pi\\
k \frac{ 2 \pi }{3}< \alpha < \frac{ \pi }{6} +k\frac{ 2 \pi }{3}\\
\alpha \in \left( 0;\frac{ \pi }{6}\right) \cup \left( \frac{ 2 \pi }{3};\frac{ 5 \pi }{6}\right) \cup
\left( \frac{ 4 \pi }{3};\frac{ 9 \pi }{6}\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ z=\left| z\right| e ^{i \alpha }}\)
Wtedy \(\displaystyle{ z^3=\left| z\right|^3 e ^{i 3 \alpha }}\)
\(\displaystyle{ 0< arg (z^3)< \frac{ \pi }{2} \\
0+k2 \pi < arg (z^3)< \frac{ \pi }{2} +k2 \pi \ \ , \ \ k \in \CC \\
k2 \pi < 3 \alpha < \frac{ \pi }{2} +k2 \pi\\
k \frac{ 2 \pi }{3}< \alpha < \frac{ \pi }{6} +k\frac{ 2 \pi }{3}\\
\alpha \in \left( 0;\frac{ \pi }{6}\right) \cup \left( \frac{ 2 \pi }{3};\frac{ 5 \pi }{6}\right) \cup
\left( \frac{ 4 \pi }{3};\frac{ 9 \pi }{6}\right)}\)