Czy układ czterech wektorów

[Dario1]

Czy układ czterech wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{2}}\):
\(\displaystyle{ a=\left( 1,2\right),b=\left( -2,-4\right),c=\left( 3,-1\right),d=\left( 2,1\right)}\) jest liniowo niezależny? Wybrać spośród tych wektorów takie które utworzą bazę. Wyznaczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ v=\left( 3,-2\right)}\) w tej bazie. W trakcie rozwiązywania zadania wektor \(\displaystyle{ v}\) pojawił się w trzech postaciach:element zbioru \(\displaystyle{ R ^{2}}\),kombinacja liniowa wektorów bazy, wektor kolumnowy współrzędnych. Podać te postaci.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Układ wektorów jest zależny albowiem jest ich cztery, a przestrzeń jest \(\displaystyle{ R ^{2}}\). Wektory niezależne to np. \(\displaystyle{ \left( 1,2\right),\left( 2,1\right)}\). Wyznaczenie wektora \(\displaystyle{ v}\).
Z układu równań \(\displaystyle{ a+2b=3,2a+b=-2}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ a= \frac{-7}{3},b= \frac{8}{3}}\). To są współrzędne tego wektora w tej bazie. Trzy postacie: \(\displaystyle{ \left( \frac{-7}{3}, \frac{8}{3} \right), \frac{-7}{3}\left( 1,2\right)+ \frac{8}{3}\left( 2,1\right),\left[ \frac{-7}{3}, \frac{8}{3} \right]}\). Zgadza się?

[Peter Zof]

Tak, jest dobrze. Jednak muszę się do czegoś przyczepić

Współrzędne wektora \(\displaystyle{ \upsilon \in \mathbb{R}^2}\) w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B}=\left( U_1,U_2\right)}\), dla \(\displaystyle{ U_1,U_2 \in \mathbb{R}^2}\) najczęściej oznacza się przez \(\displaystyle{ \left[ \upsilon \right]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}}\), gdy \(\displaystyle{ \upsilon = \alpha U_1 + \beta U_2}\).

[Dario1]

No tak w sumie spodziewałem się, że ktoś się tego doczepi bo nie umiem kolumn macierzowych robić w latexie.

[Peter Zof]

Pocieszę Cię, że gdybyś chciał się nauczyć to nie jest to trudne