Wartości i wektory własne macierzy

[stjudent]

Wyznacz wektory własne i wartości danej macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\4&-2\end{bmatrix}}\)
wyznaczam wartości własne:
\(\displaystyle{ \lambda_1 =2}\)
\(\displaystyle{ \lambda_2 = -3}\)
i wyznaczając wektory własne, pierwszy wektor wychodzi mi dobrze, czyli :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}}\)
natomiast drugi wektor wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -4\\1\end{bmatrix}}\)
a zamiast \(\displaystyle{ -4}\) ma wyjść \(\displaystyle{ -\frac{1}{4}}\)
I nie wiem, czy wychodzi na to samo, czy ja coś źle robię.

[a4karo]

to zależy Jeżeli powinno być \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\-1/4\end{bmatrix}}\) to ok. jak nie, to coś masz żle. Pokaż rachunki.

[stjudent]

dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&1\\4&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x1\\x2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x1+x2=0\\4x1-4x2=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ x_1= a}\)
\(\displaystyle{ x_2= a}\)
dla \(\displaystyle{ \lambda=-3}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&1\\4&1\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} y1\\y2\end{bmatrix}}\)=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4y1+y2=0\\4y1+y2=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ y_1=-4 \alpha}\)
\(\displaystyle{ y_2= \alpha}\)

[a4karo]

Chyba żle ostatnie równanie rozwiązałeś

[stjudent]

A mógłbyś mi pomóc je poprawnie rozwiązać? Sprawdzałam już kilka razy i chyba coś mi nie poszło

[a4karo]

\(\displaystyle{ 4y_1+y_2=0\\
y_2=\alpha\\
4y_1=-\alpha\\
y_1=-\frac{\alpha}{4}}\)