1. Niech macierz rzeczywista \(\displaystyle{ A =\left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma&\delta\end{array}\right]}\) ma dwie zespolone wartości własne, \(\displaystyle{ \lambda_{1} \ i\ \lambda_{2}, \lambda_{2} = \overline{\lambda_{1}}}\). Znaleźć macierze przejścia, które realizują podobieństwa A:
a) z macierzą \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \\ 0&\lambda_{2}\end{array}\right]}\)
b) z macierzą \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \Re\lambda_{1} & \Im\lambda_{1} \\ -\Im\lambda_{1}&\Re\lambda_{1}\end{array}\right]}\)
2. Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie macierzą Hessenberga \(\displaystyle{ n \times n}\) ( \(\displaystyle{ h_{ij} = 0}\) dla \(\displaystyle{ j \le i-2)}\). Niech jej rozkład ortogonalny ma postać: \(\displaystyle{ H = QR}\) (Q - macierz ortogonalna, R - macierz trójkątna górna). Sprawdzić, czy macierze Q i RQ są także macierzami Hessenberga.
3. Niech \(\displaystyle{ P= I - 2w w^{T}}\) dla \(\displaystyle{ w= \frac{x-||x||y}{ \sqrt{(x - ||x||y)^{T}(x-||x||y)} }, x,y \in \RR^{n}}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ ||y||=1}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ Px = ||x||y}\)
W 1 a) macierzą przejścia będzie macierz utworzona z wektorów własnych macierzy A. Przynajmniej tak mi się wydaje, jednak nie wiem jak ruszyć te zadania.