Jest dane równanie macierzowe i należy je rozwiązać
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1\\2&1&2\end{bmatrix} \cdot X =\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}}\)
Co zrobić w takiej sytuacji, jeśli z macierzy stojącej przy \(\displaystyle{ X}\) nie da się zrobić macierzy odwrotnej (nie jest kwadratowa)?
Równanie macierzowe
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Równanie macierzowe
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1\\2&1&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a+c\\2a+b+2c\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}\\ \\}\)
\(\displaystyle{ c=1-a \wedge b=-1}\)
\(\displaystyle{ X= \begin{bmatrix} a\\-1\\1-a\end{bmatrix} \ , \ \ \ a \in \RR}\)
Wersja II.
\(\displaystyle{ AX=B \\ A ^{T} AX=A ^{T} B \\ X=(A ^{T} A) ^{-1}A ^{T} B}\)
Czy tak uzyskamy szukaną macierz X ?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a+c\\2a+b+2c\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}\\ \\}\)
\(\displaystyle{ c=1-a \wedge b=-1}\)
\(\displaystyle{ X= \begin{bmatrix} a\\-1\\1-a\end{bmatrix} \ , \ \ \ a \in \RR}\)
Wersja II.
\(\displaystyle{ AX=B \\ A ^{T} AX=A ^{T} B \\ X=(A ^{T} A) ^{-1}A ^{T} B}\)
Czy tak uzyskamy szukaną macierz X ?
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Równanie macierzowe
Gdyby tak było, to rozwiązanie byłoby unikalne. A sam wcześniej podałeś cała rodzinę rozwiązań.kerajs pisze:\(\displaystyle{ Wersja II.
\(\displaystyle{ AX=B \\ A ^{T} AX=A ^{T} B \\ X=(A ^{T} A) ^{-1}A ^{T} B}\)
Czy tak uzyskamy szukaną macierz X ?}\)
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Równanie macierzowe
Tym (wyjątkowym) razem niepotrzebnie mnie Pan poprawia.
Pytanie ,,Czy tak uzyskamy szukaną macierz X ? ' przeznaczone było dla autorki tematu. Sądziłem, że policzy \(\displaystyle{ \left( A^{T}A\right)}\) i stwierdzi jej osobliwość. Zada sobie też pytanie dlaczego sposób który dał odpowiedź w jej poprzednim temacie (bo sądzę ze taki tam stosowała) tym razem jest nieskuteczny.
Pytanie ,,Czy tak uzyskamy szukaną macierz X ? ' przeznaczone było dla autorki tematu. Sądziłem, że policzy \(\displaystyle{ \left( A^{T}A\right)}\) i stwierdzi jej osobliwość. Zada sobie też pytanie dlaczego sposób który dał odpowiedź w jej poprzednim temacie (bo sądzę ze taki tam stosowała) tym razem jest nieskuteczny.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Równanie macierzowe
No to spróbuję uzasadnić:
Przypuśćmy, że rozwiązująca stwierdzi, że \(\displaystyle{ A^TA}\) nie jest odwracalna. Czy to znaczy, że wyjściowe równanie nie ma rozwiązań? Odpowiedzi na to pytanie nie ma...
Prawdę mówiąc, jeżeli \(\displaystyle{ A}\) ma wymiar \(\displaystyle{ m\times n}\), gdzie \(\displaystyle{ m>n}\), to macierz \(\displaystyle{ A^TA}\) jest macierzą \(\displaystyle{ m\times m}\) i ZAWSZE jest osobliwa, więc taki "sposób" rozwiązania w połowie przypadków z góry jest skazany na niepowodzenie
Wyobraźmy sobie jednak , że zadanie wygląda trochę inaczej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2\\0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q\\1\\1\end{bmatrix}}\) dla \(\displaystyle{ q\in\RR}\).
Łatwo widać, że to równanie ma rozwiązanie \(\displaystyle{ (a,b)=(1,1)}\) tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ q=3}\)
Mnożąc równanie lewostronnie przez \(\displaystyle{ A^T}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&2\\2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q+1\\2q+1\end{bmatrix}}\),
a to równanie ma rozwiązanie dla dowolnego \(\displaystyle{ q}\)
Co się zatem stało??? Czy mamy rzeczywiście do czynienia z METODĄ rozwiązywania równań macierzowych? Czy można mnożyć równanie przez cokolwiek bez obaw, że stanie się coś dziwnego?
Przypuśćmy, że rozwiązująca stwierdzi, że \(\displaystyle{ A^TA}\) nie jest odwracalna. Czy to znaczy, że wyjściowe równanie nie ma rozwiązań? Odpowiedzi na to pytanie nie ma...
Prawdę mówiąc, jeżeli \(\displaystyle{ A}\) ma wymiar \(\displaystyle{ m\times n}\), gdzie \(\displaystyle{ m>n}\), to macierz \(\displaystyle{ A^TA}\) jest macierzą \(\displaystyle{ m\times m}\) i ZAWSZE jest osobliwa, więc taki "sposób" rozwiązania w połowie przypadków z góry jest skazany na niepowodzenie
Wyobraźmy sobie jednak , że zadanie wygląda trochę inaczej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2\\0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q\\1\\1\end{bmatrix}}\) dla \(\displaystyle{ q\in\RR}\).
Łatwo widać, że to równanie ma rozwiązanie \(\displaystyle{ (a,b)=(1,1)}\) tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ q=3}\)
Mnożąc równanie lewostronnie przez \(\displaystyle{ A^T}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&2\\2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q+1\\2q+1\end{bmatrix}}\),
a to równanie ma rozwiązanie dla dowolnego \(\displaystyle{ q}\)
Co się zatem stało??? Czy mamy rzeczywiście do czynienia z METODĄ rozwiązywania równań macierzowych? Czy można mnożyć równanie przez cokolwiek bez obaw, że stanie się coś dziwnego?