Przekształcenie liniowe

[Dario1]

Czy poniższe przekształcenie jest przekształceniem liniowym?
\(\displaystyle{ f:\RR ^{2} \rightarrow \RR, f\left( \left( x _{1},x _{2} \right) \right)=2x _{1}-3x _{2}}\)

Według mnie to jest przekształcenie liniowe bo:
\(\displaystyle{ f\left( \left( x _{1}, x _{2} \right)+\left( y _{1}, y _{2} \right) \right)=f\left( x _{1}, x _{2}\right) + f\left( y _{1}, y _{2}\right)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ f\left( c\left( x _{1}, x _{2}\right)\right)=cf\left( x _{1}, x _{2}\right)}\)
i:
\(\displaystyle{ f\left( c\left( x _{1}, x _{2}\right)+d\left( y _{1}, y _{2}\right)\right)=cf\left( x _{1}, x _{2}\right)+df\left( y _{1}, y _{2}\right)}\)
Zgadza się?

[TPD]

To jest przekształcenie liniowe, ale jak dla mnie, to źle udowodnione. Z Twojego dowodu nic nie wynika, oprócz tego że przepisałeś warunek.

[Premislav]

Właśnie. Nie tyle źle udowodnione, co nieudowodnione. Proponuję ograniczyć się do pokazania tego ostatniego warunku, bowiem wynika z niego zarówno jednorodność (\(\displaystyle{ d=0}\)), jak i addytywność (\(\displaystyle{ c=d=1}\)).

[Dario1]

No, ale to chyba tylko kwestia rozpisania? Weźmy trzeci warunek:
\(\displaystyle{ f\left( c\left( x _{1}, x _{2}\right)+d\left( y _{1}, y _{2}\right)\right)=
f\left( \left( cx _{1}, cx _{2}\right)+\left( dy _{1}, dy _{2}\right)\right)=
f\left( \left( cx _{1}+cy _{1}, cx _{2}+dy _{2}\right)\right)=
2\left( cx _{1}+dy _{1} \right)- 3\left( cx _{2}+dy _{2} \right)=
2cx _{1}+2cx _{2}-3cx _{2}-3dy _{2}}\)
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ cf\left( x _{1}, x _{2}\right)+df\left( y _{1}, y _{2}\right)=
c\left( 2x _{1}-3x _{2} \right)+d\left( 2y _{1}-3y _{2} \right)=
2cx _{1}+2dy _{1}-3cx _{2}-3dy _{2}}\)
Teraz ok? Nie chciało mi się tyle pisać, dlatego tak.

[Premislav]

\(\displaystyle{ f\left( c\left( x _{1}, x _{2}\right)+d\left( y _{1}, y _{2}\right)\right)= f\left( \left( cx _{1}, cx _{2}\right)+\left( dy _{1}, dy _{2}\right)\right)= f\left( \left( cx _{1}+cy _{1}, cx _{2}+dy _{2}\right)\right)= 2\left( cx _{1}+dy _{1} \right)- 3\left( cx _{2}+dy _{2} \right)= 2cx _{1}+{\red 2cx _{2}}-3cx _{2}-3dy _{2}}\)

W ostatniej równości masz jakąś literówkę.

[Dario1]

Aha powinno być \(\displaystyle{ 2cx _{1}+2dy _{1}-3cx _{2}-3dy _{2}}\). Teraz ok?

[Premislav]

Tak.