forma kwadratowa

[doly]

czy formy kwadratowe
\(\displaystyle{ f(x,y)= x ^{2} + y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)= x ^{2} - y ^{2}}\)
są dodatnio określone ?

[janusz47]

Pierwsza tak, bo na głównej przekątnej jej macierzy występują dwie jedynki (dwie liczby większe od zera)

Druga nie bo występuje +1 i -1.

[doly]

a jak znaleźć całą tą macierz ? skąd wiadomo że na przekątnej w pierwszym przypadku są dwie jedynki ?

[SidCom]

Każdą formę kwadratową \(\displaystyle{ k}\) w \(\displaystyle{ \RR^n}\) można przedstawić w postaci:

\(\displaystyle{ k(x_1,\dots, x_n)= \sum_{i=1}^n g_{ii}x_i^2+2 \sum_{\substack{i=j=1 \\ i<j}}^n g_{ij}x_ix_j}\)

Macierz tej formy \(\displaystyle{ G=[g_{ij}]}\)

I jeszcze jedno: żeby określić czy forma jest dodatnio określona wystarczy zbadać znaki minorów głównych. Jeśli wszystkie są dodatnie to forma jest dodatnio określona.

PS. Żeby było jasne : u Ciebie \(\displaystyle{ x_1 =x \\ x_2=y}\)

\(\displaystyle{ f(x,y)=1 \cdot x^2+1 \cdot y^2}\)
stąd macierz

\(\displaystyle{ G=\left[ \begin{array} {ccc} 1&0 \\0&1 \end{array} \right]}\)

i minory \(\displaystyle{ G_1=1 >0 \ G_2=1>0}\) czyli forma jest dodatnio określona.