Wektory na jednej płaszczyźnie

[Skrzetusky]

Posiadam trzy wektory
\(\displaystyle{ \vec{a}=[a_{1},a_{2},a_{3}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=[b_{1},b_{2},b_{3}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{c}=[c_{1},c_{2},c_{3}]}\)

Żeby sprawdzić czy dane wektory leżą na jeden płaszczyźnie muszę policzyć iloczyn wektorowy.

\(\displaystyle{ \vec{a}\times\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a}\times\vec{c}}\)

Później jeżeli wektory będą równe, oznacza to, że leżą one na jednej płaszczyźnie?

[leg14]

Tak(z dokladnoscia do mnozenia przez skalar), ale najwazniejsze zebys zrozumial,dlaczego tak jest.Co otrzymasz po przemnozeniu dwoch wektorow przez iloczyn wektorowy?Wektor prostapdly i do jednego i do drugiego.

Kazde dwa rozne(z dokladnoscia do mnozenia przez skalar) wektory rozpinaja pewna plaszczyzne.Jezeli Je wymnozysz wektorowa to otrzymasz wektor, ktory jest do nich prostopadly, czyli jednym slowem wektor normalny plaszczyzny.Stad ten warunek.

[Skrzetusky]

1. Co znaczy stwierdzenie "z dokładnością mnożenia przez skalar"?

Podsumowując:
2. Czyli po przemnożeniu dwóch wektorów np. \(\displaystyle{ \vec{a}\times\vec{b}}\) dostanę wektor prostopadły do płaszczyzny, na której znajdują się wektory \(\displaystyle{ \vec{a},\vec{b}}\).

2.1 W wyniku kolejnego mnożenia wektorowego \(\displaystyle{ \vec{a}\times\vec{c}}\) analogicznie uzyskam wektor prostopadły do płaszczyzny, na której są wektory \(\displaystyle{ \vec{a},\vec{c}}\)

2.2. W sumie, gdy dwa wynikowe wektory będą sobie równe to oznaczać będzie, że wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}\) leżą na jednej płaszczyźnie.

3. Czy przypadkiem nie muszą to być wersory podczas iloczynu wektorowego, aby uzyskać odpowiedź czy leżą na tej samej płaszczyźnie?(czy ich długość jest obojętna?)

[leg14]

Wlasnie to mialem na mysli piszac z dokladnoscia do mnozenia przez skalar.Nie ma zmaczenia to jakie dlugosci beda mialy te dwa otrzymane wektory.Wazne zeby byly rownolegle.

[Skrzetusky]

Wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}\) nie muszą być liniowo zależne jeżeli mają istnieć na jednej płaszczyźnie?

Jakby sobie wyobrazić płaszczyznę w rzucie 3D \(\displaystyle{ x, y, z}\), i gdyby spojrzeć na tą płaszczyznę w 2D \(\displaystyle{ x, y}\). To wektory względem siebie mogą leżeć pod dowolnym kątem? Nie ma reguły, że muszą być prostopadłe bądź równoległe?

[leg14]

Wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}\)nie muszą być liniowo zależne jeżeli mają istnieć na jednej płaszczyźnie?

Wrecz przeciwnie- co najmniej jeden musi byc zalezy od pozostalych.

[a4karo]

Słyszałes o iloczynie mieszanym wektorów?

[Skrzetusky]

Wiem jedynie, że za pomocą iloczynu mieszanego wektorów można uzyskać \(\displaystyle{ V}\) równoległościanu. Gdzie początki tych wektorów muszą być w tym samym miejscu.

[a4karo]

NO własnie. jak sa współliniowy, to ta objętośc jest równa ???

[Skrzetusky]

Całe okrągłe zero
Wynika to z iloczynu wektorowego.

Zatem wektory znajdujące się na płaszczyźnie nie mogą być współliniowe bo nie uzyskamy wektora prostopadłego.

Dzięki.