Przedstawianie na płaszczyźnie zespolonej zbiór...

[koralina19]

... spełniających warunek. Takie najprawdopodobniej będę miała zadanie na kolokwium. Czy ktoś byłby w stanie wytłumaczyć mi na czym to polega, ponieważ nie wiem za co się zabrać rozwiązując tego typu zadanie, a przecież nie wykuję gotowych odpowiedzi

Np. \(\displaystyle{ |z^2+1|=|z+i|}\)

[Peter Zof]

Skorzystaj z tego, że moduł iloczynu jest iloczynem modułów.

Wskazówka:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ |z^2+1|=|(z+i)(z-i)|=\dots}\)

[koralina19]

A jak to w ogóle zaznaczyć na płaszczyźnie to mi też sprawia kłopot? I do jakiej postaci doprowadzać równania, czy jest jakaś ogólna zasada

[Peter Zof]

\(\displaystyle{ |z^2+1|=|z+i|}\)
\(\displaystyle{ |z+i| \cdot |z-i|=|z+i|}\)

Teraz podzielmy obie strony przez \(\displaystyle{ |z+i|}\) pamiętając o tym, aby nie podzielić przez zero, a więc zakładamy tu że \(\displaystyle{ |z+i| \neq 0 \Leftrightarrow z \neq -i}\). Tak więc, przy założeniu że \(\displaystyle{ z \neq -i}\) otrzymujemy że \(\displaystyle{ |z-i|=1}\) co oznacza że równanie spełniają wszystkie liczby zespolone \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\) takie, że ich odległość od \(\displaystyle{ i \in \mathbb{C}}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Dodatkowo musimy sprawdzić czy liczba \(\displaystyle{ -i}\) spełnia równanie, ale myślę że z tym sobie poradzisz

Zbiór rozwiązań można zapisać jako \(\displaystyle{ \Lambda = \{z \in \mathbb{C} \colon |z-i|=1\} \cup \{-i\}}\)