Obliczanie wyznacznik z parametrami

[Skrzetusky]

Jak obliczyć wyznacznik poniższej macierzy?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1+x&1&1&1\\1&1+x&1&1\\1&1&1-z&1\\1&1&1&1-z\end{array}\right]}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1+x&1&1&1\\1&1+x&1&1\\1&1&1-z&1\\1&1&1&1-z\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cccc}1+x&1&1&1\\-x&x&0&0\\0&0&-z&z\\1&1&1&1-z\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cccc}x&1&1&0\\-2x&x&0&0\\0&0&-z&2z\\0&1&1&-z\end{array}\right]
=\\=x \cdot \left[\begin{array}{cccc}x&0&0\\0&-z&2z\\1&1&-z\end{array}\right]+2x\cdot \left[\begin{array}{cccc}1&1&0\\0&-z&2z\\1&1&-z\end{array}\right]=x^2z^2-2x^2z+2xz^2}\)

[Skrzetusky]

Z jakiej własności otrzymaliśmy poniższe przekształcenie?

\(\displaystyle{ =\left[\begin{array}{cccc}x&0&0\\0&-z&2z\\1&1&-z\end{array}\right]+2x \cdot \left[\begin{array}{cccc}1&1&0\\0&-z&2z\\1&1&-z\end{array}\right]}\)

[kerajs]

To rozwinięcie Laplace'a względem pierwszej kolumny
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x&1&1&0\\-2x&x&0&0\\0&0&-z&2z\\0&1&1&-z\end{array}\right]
=\\=x \cdot (-1) ^{1+1} \cdot \left[\begin{array}{cccc}x&0&0\\0&-z&2z\\1&1&-z\end{array}\right]+(-2x) \cdot (-1) ^{1+2}\cdot \left[\begin{array}{cccc}1&1&0\\0&-z&2z\\1&1&-z\end{array}\right]}\)