macierz ortogonalna i wielomian

[loitzl9006]

Podaj przykład wielomianu \(\displaystyle{ f(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_o\in R[x]}\), który nie jest wielomianem charakterystycznym żadnej macierzy ortogonalnej \(\displaystyle{ A\in M_3(R)}\)

[a4karo]

Przyjrzyj się wartościom własnym macierzy ortogonalnej

[loitzl9006]

nie wyliczyłem ich nawet, utonąłem w obliczeniach. Policzyłem wyznacznik tej macierzy i przyrównałem go do \(\displaystyle{ \pm1}\) (jedno równanie) potem policzyłem wielomian charakterystyczny i przyrównałem go do zera (drugie równanie) potem odjąłem równania stronami trochę się poskracało ale i tak nie wiem co z tym zrobić

[norwimaj]

A czy ten wielomian nie miał mieć współczynnika \(\displaystyle{ -1}\) przy \(\displaystyle{ x^3}\)?

Jaki jest związek pomiędzy wyznacznikiem macierzy a współczynnikiem \(\displaystyle{ a_0}\)?

[loitzl9006]

nie, w zadaniu mam współczynnik \(\displaystyle{ 1}\), normalnie \(\displaystyle{ x^3}\) bez minusa

Związek chyba jest taki że jeśli wyznacznik macierzy jest równy \(\displaystyle{ 0}\) to wtedy \(\displaystyle{ a_0=0}\) , tak ?

***
Zrobiłem to zadanie inną metodą, tzn. wymyśliłem sobie macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\) której wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ 0}\) i policzyłem jej wielomian charakterystyczny. Ale jeśli da się to rozwiązać jeszcze inaczej - to będę wdzięczny za wskazówki

[a4karo]

A ta macierz jest ortogonalna?

[loitzl9006]

nie jest, bo jej wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ 0}\)

[a4karo]

A zatem to nie jest rozwiązanie Twojego problemu

[loitzl9006]

więc jak się za to mam zabrać ?
Bo ja korzystałem z tego że każda macierz ortogonalna jest odwracalna, więc wybrałem sobie nieodwracalną (taką z wyznacznikiem \(\displaystyle{ 0}\)) konkretnie

\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&4&2\\3&6&3\end{array}\right]}\)

i policzyłem jej wielomian charakterystyczny, wyszło mi \(\displaystyle{ f(x)=x^3-8x^2-6x}\). I stwierdziłem że taki wielomian nie jest wielomianem charakterystycznym żadnej macierzy ortogonalnej bo jest wielomianem charakterystycznym macierzy o wyznaczniku \(\displaystyle{ 0}\)

W którym miejscu popełniam błąd ?

[norwimaj]

nie, w zadaniu mam współczynnik \(\displaystyle{ 1}\), normalnie \(\displaystyle{ x^3}\) bez minusa

To ciekawe. Ja ze studiów zapamiętałem, że wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest równy \(\displaystyle{ \det(A-xI),}\) a teraz się dowiedziałem, że nie jest to ogólnie przyjęta konwencja i inni wolą \(\displaystyle{ \det(xI-A)}\).

Związek chyba jest taki że jeśli wyznacznik macierzy jest równy \(\displaystyle{ 0}\) to wtedy \(\displaystyle{ a_0=0}\) , tak ?

Na potrzeby tego zadania wystarczy, ale powinieneś wiedzieć trochę więcej. Jak w definicji wielomianu charakterystycznego podstawisz \(\displaystyle{ x,}\) to co dostaniesz?

Bo ja korzystałem z tego że każda macierz ortogonalna jest odwracalna, więc wybrałem sobie nieodwracalną (taką z wyznacznikiem \(\displaystyle{ 0}\)) konkretnie

\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&4&2\\3&6&3\end{array}\right]}\)

i policzyłem jej wielomian charakterystyczny,

Nie rozumiem logiki Twojego dowodu. Po co Ci ta macierz?

[loitzl9006]

no dobra, \(\displaystyle{ a_0=|det A|}\), wobec tego \(\displaystyle{ a_0\ne\pm1}\)

a ta macierz \(\displaystyle{ B}\).. po prostu nie jest ortogonalna i uważałem że jej wielomian charakterystyczny nie będzie wielomianem żadnej macierzy ortogonalnej, stąd się u mnie pojawiła w tym dowodzie.. ale z algebrą już 5 lat nie miałem do czynienia więc pewne rzeczy pozapominałem..

Coś o niezmiennikach macierzy mi świta że coś takiego słyszałem, ale nie wiem jak to połączyć z macierzą ortogonalną

[a4karo]

więc jak się za to mam zabrać ?
Bo ja korzystałem z tego że każda macierz ortogonalna jest odwracalna, więc wybrałem sobie nieodwracalną (taką z wyznacznikiem \(\displaystyle{ 0}\)) konkretnie

\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&4&2\\3&6&3\end{array}\right]}\)

i policzyłem jej wielomian charakterystyczny, wyszło mi \(\displaystyle{ f(x)=x^3-8x^2-6x}\). I stwierdziłem że taki wielomian nie jest wielomianem charakterystycznym żadnej macierzy ortogonalnej bo jest wielomianem charakterystycznym macierzy o wyznaczniku \(\displaystyle{ 0}\)

W którym miejscu popełniam błąd ?

To rozumowanie jest OK