pokaż, że macierz

elninio09 · Post autor: **elninio09** » 3 gru 2015, o 18:49

Witam
Czy mógłby mi ktoś pomóc z tym zadaniem?
"Pokaż, że dla macierzy A, B zachodzi wzór \(\displaystyle{ (A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}}\) wtedy i tylko
wtedy, gdy \(\displaystyle{ AB = BA.}\)
Przy jakich założeniach \(\displaystyle{ (A+B)(A - B) = A^{2} - B^{2} ?}\)
Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ (A + I)(A - I) = A^{2} - I? Czy A^{3} - I = (A - I)(A^{2} + A + I)?}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 gru 2015, o 19:01

Masz warunek równoważny \(\displaystyle{ 2AB=AB+BA}\). Co z niego wynika i dlaczego on ma miejsce?

elninio09 · Post autor: **elninio09** » 3 gru 2015, o 19:24

hmmm, szczerze to nie wiem. Jedyne co mi tu przychodzi do głowy to coś z tym, że mnożenie nie jest przemienne, a dodawanie jest, lecz co dalej...

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 gru 2015, o 19:27

Zapisz działanie \(\displaystyle{ (A+B)^2}\) wymnażając \(\displaystyle{ (A+B)\cdot(A+B)}\) każdy element przez każdy. Co dostajesz?

elninio09 · Post autor: **elninio09** » 3 gru 2015, o 19:31

dostaje\(\displaystyle{ A^{2}+AB+BA+B^{2}}\) więc wynika z tego, że \(\displaystyle{ AB}\) to to samo co \(\displaystyle{ BA}\), ponieważ \(\displaystyle{ (A+B)^{2}}\) to wzór skróconego mnożenia

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 gru 2015, o 19:35

Rozwiń tę ostatnią myśl. A pierwsze OK.

elninio09 · Post autor: **elninio09** » 3 gru 2015, o 19:44

\(\displaystyle{ A^{2}+AB+BA+B^{2} = A^{2}+2AB+B^{2}}\) tylko jak to udowodnić. Bo chyba tyle to za mało

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 gru 2015, o 19:45

To jest ten warunek równoważny. Po prawej masz postulowaną równość, po lewej jak ma być. Kwadraty się upraszczają, co zostaje?

elninio09 · Post autor: **elninio09** » 3 gru 2015, o 19:49

\(\displaystyle{ AB+BA=2AB}\) tyle zostanie

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 gru 2015, o 19:49

Tak. Odejmując stronami \(\displaystyle{ AB}\) masz to co trzeba.

elninio09 · Post autor: **elninio09** » 3 gru 2015, o 20:00

A czy w dalszej części zadania \(\displaystyle{ (A+B)(A - B) = A^{2} - B^{2}}\) też wystarczy to rozwiązać i wychodzi , że \(\displaystyle{ BA=AB}\) i takie założenie wystarczy?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 gru 2015, o 20:03

Jak na to patrzyłem ,,na oko", powinno tak wyjść. Metoda rozumowania identyczna.

elninio09 · Post autor: **elninio09** » 3 gru 2015, o 20:09

A co można zrobić z tym? Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ (A + I)(A - I) = A^{2} - I?}\)Czy\(\displaystyle{ A^{3} - I = (A - I)(A^{2} + A + I)}\)?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 gru 2015, o 20:10

Na pierwsze odpowiedź już masz. Drugie - policz tą samą metodą. Korzystaj z własności mnożenia przez macierz jednostkową.

elninio09 · Post autor: **elninio09** » 3 gru 2015, o 20:15

Bardzo dziękuję za pomoc! kilka wskazówek i zadanie staje się banalne