Witam. Mam problem z pewnym zadaniem z przestrzeni wektorowych. Kompletnie nie wiem jak ruszyć to zadanie.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) jego podprzestrzeniami.
a) Wykaż, że \(\displaystyle{ U \cup V}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ X}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ U \subset V}\) lub \(\displaystyle{ V \subset U}\)
b) Sprawdź, czy \(\displaystyle{ \Lin(U \cup V)=U+V}\)
Dowód z podprzestrzeni.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Dowód z podprzestrzeni.
a) Implikacja w lewą stronę jest oczywista. W prawą stronę można na przykład tak:
Załóżmy, że nie zachodzi ani \(\displaystyle{ U\subset V}\), ani \(\displaystyle{ V \subset U}\). Zatem istnieją \(\displaystyle{ u \in U\setminus V}\) oraz \(\displaystyle{ v\in V \setminus U}\). Ponieważ \(\displaystyle{ U\cup V}\) jest podprzestrzenią, to \(\displaystyle{ u + v \in U\cup V}\). Jeśli \(\displaystyle{ u + v \in U}\), to (ponieważ \(\displaystyle{ U}\) jest podprzestrzenią) \(\displaystyle{ v = (u+v) - u \in U}\), co daje nam sprzeczność. Analogicznie dla drugiego przypadku.
Załóżmy, że nie zachodzi ani \(\displaystyle{ U\subset V}\), ani \(\displaystyle{ V \subset U}\). Zatem istnieją \(\displaystyle{ u \in U\setminus V}\) oraz \(\displaystyle{ v\in V \setminus U}\). Ponieważ \(\displaystyle{ U\cup V}\) jest podprzestrzenią, to \(\displaystyle{ u + v \in U\cup V}\). Jeśli \(\displaystyle{ u + v \in U}\), to (ponieważ \(\displaystyle{ U}\) jest podprzestrzenią) \(\displaystyle{ v = (u+v) - u \in U}\), co daje nam sprzeczność. Analogicznie dla drugiego przypadku.