Podprzestrzenie, f^2=f

[Przemyslaw]

V - przestrzeń wektorowa
\(\displaystyle{ f: V \rightarrow V}\) endomorfizm
Pokazać, że:
\(\displaystyle{ f^2=f \Leftrightarrow \Exists P, Q}\) podp. \(\displaystyle{ V i P+Q=V}\) i \(\displaystyle{ P \cap Q={0}}\) i \(\displaystyle{ f(p+q)=p}\)
\(\displaystyle{ p\in P}\) \(\displaystyle{ q\in Q}\)



"<=" Chyba mam, bo:
\(\displaystyle{ f(p+q)=p \Rightarrow f(p)=p, f(q)=p}\)
i teraz mam:

\(\displaystyle{ f(q)=p}\)
\(\displaystyle{ f(p)=p}\)
\(\displaystyle{ f(f(p))=p}\)
\(\displaystyle{ v=p+q}\)
\(\displaystyle{ f(v)=p=f(p)=f(f(q))}\)
co impikuje:
\(\displaystyle{ f(q)=f(f(q))}\)
ponieważ \(\displaystyle{ q\in Q \subset V}\)

Jest to dobrze?
A jak w drugą stronę?:)