1) W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) dane są trzy wektory \(\displaystyle{ u = (0,1,-1) \ v = (-1,0,1) \ w = (1,-1,0)}\). Podaj wymiar oraz bazę podprzestrzeni generowanej przez te wektory.
Wiem że te wektory są liniowo zależne, a parami liniowo nie zależne więc jeden z nich nie jest nam do bazy potrzebny. Z czego teraz będzie wynikało że dwa pozostałe będą bazą? Jak sprawdzić czy wygenerują całą przestrzeń?
Podobne zadanie.
2) Dane są dwa układy wektorów: \(\displaystyle{ B_1: (1, i, 1+i),(i, -1,2-i), (0,0,3)}\) i \(\displaystyle{ B_2: (2i,1,0),(2,-i,1),(0,1+i,1-i)}\). Sprawdź czy któryś z tych układów stanowi bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{C}^3(\mathbb{C})}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{C}^3(\mathbb{R})}\).
I tutaj mam ten sam problem, jak pokażę że wektory są liniowo niezależne jak mam pokazać że są w stanie wygenerować całą przestrzeń?
Trzy wektory genrujące całą przestrzeń
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Trzy wektory genrujące całą przestrzeń
1)Weź np. dwa pierwsze i spróbuj wygenerować trzeci.
2)Elementarne tw. algebry liniowej. \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{3}\left(\mathbb{C} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{3}}\left(\mathbb{R} \right)}\) to przestrzenie trójwymiarowe, więc baza bedzie stanowić trzy wektory.
Jeżeli ustalisz, że te któreś z tych dwóch układów jest liniowo niezależny to bazę masz od razu (czyli także wektory generujące)
2)Elementarne tw. algebry liniowej. \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{3}\left(\mathbb{C} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{3}}\left(\mathbb{R} \right)}\) to przestrzenie trójwymiarowe, więc baza bedzie stanowić trzy wektory.
Jeżeli ustalisz, że te któreś z tych dwóch układów jest liniowo niezależny to bazę masz od razu (czyli także wektory generujące)