Mam do pokazania, że poniższa równość jest prawdziwa.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&a&a^{2}&a^{3}\\1&b&b^{2}&b^{3}\\1&c&c^{2}&c^{3}\\1&d&d^{2}&d^{3}\end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)}\)
Mogę to zrobić poprzez policzenie wyznacznika i wymnożenie prawej strony, ale to będzie ..BARDZO długie, może ktoś podsunie pomysł na szybsze rozwiązanie?
Wyznacznik macierzy
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Wyznacznik macierzy
Cóż, możesz przekształcić tak, by w pierwszej kolumnie dostać jedynkę i same zera (bo jak wiemy taka operacja nie zmieni wartości wyznacznika), a potem rozwinąć z Laplace'a względem pierwszej kolumny. Może wykonam pierwszy krok, a resztę spróbujesz dokończyć.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&a&a^{2}&a^{3}\\1&b&b^{2}&b^{3}\\1&c&c^{2}&c^{3}\\1&d&d^{2}&d^{3}\end{vmatrix} \rightarrow
\begin{vmatrix} 1&a&a^{2}&a^{3}\\0&(b-a)&(b^{2}-a^2)&(b^{3}-a^3)\\0&(c-a)&(c^{2} - a^2)&(c^{3} - a^3)\\0&(d-a)&(d^{2} - a^2)&(d^{3}- a^3)\end{vmatrix}}\)
Teraz tak jak mówiłem, względem pierwszej kolumny z Laplace'a, a potem dostaniesz macierz \(\displaystyle{ 3 \mbox{x} 3}\), ale możesz przecież powyłączać pewne wyrażenia z poszczególnych wierszy przed wyznacznik. Potem się okaże, że po raz kolejny dostaniesz jedynki w pierwszej kolumnie, wtedy wystarczy, że powtórzysz tę procedurę i tak aż do końca.
Możesz też poczytać o tak zwanym wyznaczniku Vandermonde'a, bo takim jest Twój wyznacznik.
Powodzenia w rachunkach, wbrew Twoim przewidywaniom nie powinny okazać się bardzo żmudne.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&a&a^{2}&a^{3}\\1&b&b^{2}&b^{3}\\1&c&c^{2}&c^{3}\\1&d&d^{2}&d^{3}\end{vmatrix} \rightarrow
\begin{vmatrix} 1&a&a^{2}&a^{3}\\0&(b-a)&(b^{2}-a^2)&(b^{3}-a^3)\\0&(c-a)&(c^{2} - a^2)&(c^{3} - a^3)\\0&(d-a)&(d^{2} - a^2)&(d^{3}- a^3)\end{vmatrix}}\)
Teraz tak jak mówiłem, względem pierwszej kolumny z Laplace'a, a potem dostaniesz macierz \(\displaystyle{ 3 \mbox{x} 3}\), ale możesz przecież powyłączać pewne wyrażenia z poszczególnych wierszy przed wyznacznik. Potem się okaże, że po raz kolejny dostaniesz jedynki w pierwszej kolumnie, wtedy wystarczy, że powtórzysz tę procedurę i tak aż do końca.
Możesz też poczytać o tak zwanym wyznaczniku Vandermonde'a, bo takim jest Twój wyznacznik.
Powodzenia w rachunkach, wbrew Twoim przewidywaniom nie powinny okazać się bardzo żmudne.