Matematyka.pl

Nie wiem czy ja to poprawnie rozumuje. ( )
Znaleść z definicji manierze podanych przekształceń liniowych we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni linowych.

\(\displaystyle{ \mathrm{L} : \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{L} (x, y) = (x + y, 2x + y, x - 3y)}\)

\(\displaystyle{ \vec{u_{1}} = (1; 1)}\), \(\displaystyle{ \vec{u_{2}} = (1; -1)}\), \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} = (1, -1, 0)}\), \(\displaystyle{ \vec{v_{2}} = (0, 1, -1)}\), \(\displaystyle{ \vec{v_{3}} = (0, 0, 1)}\)

Jak na mój chłobski rozum to do problemu powinno się podejść w ten sposób:
Kolejne kolumny macierzy przekształcenia linowego składają się ze współczunników rozkładu obrazu wektora \(\displaystyle{ u_{n}}\) w bazie które tworzą wektory \(\displaystyle{ v_{n}}\). Wiec przystępuje do zapisu wektorów \(\displaystyle{ u_{n}}\) w tej bazie.

\(\displaystyle{ u_{1} = (1 ; 1)_{e} = (1; -1; 0) + \beta(0; 1; -1) + \gamma(0; 0; 1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} = 1 \\ -\alpha + \beta = 1 \\ \gamma = 0 \end {cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} = 1\\ \beta = 2 \\ \gamma = 0 \end {cases}}\)

\(\displaystyle{ u_{1} = (1; 2; 0)_{v}}\)

\(\displaystyle{ v_{2} = (1; -1)_{e} = (1; -1; 0) + \beta(0; 1; -1) + \gamma(0; 0; 1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} = 1 \\ -\alpha + \beta = -1 \\ \gamma = 0 \end {cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} = 1 \\ \beta = 0 \\ \gamma = 0 \end {cases}}\)

\(\displaystyle{ u_{2} = (1; 0; 0)_{v}}\)

Następnie wyliczam obrazy:

\(\displaystyle{ \mathrm{L}(u_{1}) = (3; 4; -5)_{v}}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{L}(u_{2}) = (1; 2 ;1)_{v}}\)

A wiec na mocy powyszej definicji macierzy przekształcenia liniowego, maciesz powina wyglądać jakoś tak ??: :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1\\4&0\\-5&0\end{array}\right]}\)

hubble pisze: Kolejne kolumny macierzy przekształcenia linowego składają się ze współczynników rozkładu obrazu wektora \(\displaystyle{ u_{n}}\) w bazie które tworzą wektory \(\displaystyle{ v_{n}}\).

No i to jest prawda, tylko nie rozumiem trochę, po co liczysz współrzędne wektorów u (a nie obrazów) w bazie wektorów v...

Generalnie metoda jest taka:

Obliczasz nie współrzędne wektora \(\displaystyle{ u_1}\) w bazie wektorów v, ale współrzędne wektora \(\displaystyle{ L(u_1)}\), czyli \(\displaystyle{ L(1,1)}\) (tą samą metodą z układem równań, którą zastosowałeś),czyli obliczasz współczynniki w równaniu:
\(\displaystyle{ L(1,1)_v = (2,3,-2) = (1,-1,0) + \beta(0,1,-1) + \gamma(0,0,1)}\)

Wektor \(\displaystyle{ (\alpha;\beta;\gamma)}\) to pierwsza kolumna macierzy naszego odwzorowania

Analogicznie robisz to samo dla wektora \(\displaystyle{ u_2}\)