\(\displaystyle{ A = { (x_1 , x_2 , x_3 , x_4) \in R^4 ; x_1 -2x_2 + x_3 +x_4 = 0, x_1 - 4x_2 +2x_3 +x_4 =0}}\)
\(\displaystyle{ B = lin((1,1,1,1), (2,1,0,2),(1,2,3,1)) \subset R^4}\)
Znajdź bazę przestrzeni \(\displaystyle{ A \cap B}\) i uzupełnij ją do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ A + B}\)
ok..
schodkuje \(\displaystyle{ B}\) i wychodzi mi, że \(\displaystyle{ B = lin((1,0,-1,1),(0,1,2,0))}\)
Szukam przecięcia w ten sposób:
\(\displaystyle{ a(1,0,-1,1)+ b(0,1,2,0) = (a,b,-a+2b, a)}\)
podstawiam do zbioru rozwiązań:
\(\displaystyle{ x_1 = a}\)
\(\displaystyle{ x_2 = b}\)
\(\displaystyle{ x_3 = -a +2b}\)
\(\displaystyle{ x_4 = a}\)
\(\displaystyle{ a -2b -a +2b +a = 0}\)
\(\displaystyle{ a-4b -2a +4b+a=0}\)
wychodzi
\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ 0=0}\)
czyli nijak znaleźć wzór przecięcia, a obliczyłem, że \(\displaystyle{ dim(A \cap B) = 1}\) czyli musi to być jakiś wektor ...
ktoś da jakąś wskazówkę?
+ co to znaczy uzupełnić do bazy
EDIT://
czyli \(\displaystyle{ A \cap B = (0,b,2b,0)=b(0,1,2,0)}\), a zatem wielokrotności wektora \(\displaystyle{ (0,1,2,0) \leftarrow}\) ten wektor jest bazą.
No i jak mam niby uzupełnić do bazy, co to znaczy w ogóle
a baza \(\displaystyle{ A + B}\) to\(\displaystyle{ (1,0,-1,1), (0,1, 2,0), (-1,0,0,1)}\)
czyli mam tylko napisać jaka jest baza \(\displaystyle{ A \cap B}\) i \(\displaystyle{ A + B}\) i dopowiedzieć, że żeby uzupełnić bazę \(\displaystyle{ A \cap B}\) do bazy \(\displaystyle{ A + B}\) muszę dodać dwa wektory, których brakuje, a mianowicie \(\displaystyle{ (1,0,-1,1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,0,0,1)}\) i koniec tak?
