Podprzestrzen linoiwa

[cis123]

Niech \(\displaystyle{ U, \ W}\) będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V \ (dimV < \infty )}\) takimi, że \(\displaystyle{ U \subseteq W.}\) Pokaż, że istnieje podprzestrzeń \(\displaystyle{ W'}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) taka, że \(\displaystyle{ W \cap W' =U}\) oraz \(\displaystyle{ W + W' = V .}\)
Niech \(\displaystyle{ V = R^{2,2}, \ U}\) będzie podprzestrzenią macierzy antysymetrycznych \(\displaystyle{ (A = -A^{T})}\), a \(\displaystyle{ W}\) podprzestrzenią macierzy o śladzie równym 0. Znajdź, uzasadniając odpowiedź, podprzestrzeń \(\displaystyle{ W'}\) o powyższych własnościach.

Pomoże ktoś?

[norwimaj]

Niech
\(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k}\) – baza \(\displaystyle{ U,}\)
\(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\beta_1,\ldots,\beta_l}\) – baza \(\displaystyle{ W,}\)
\(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\beta_1,\ldots,\beta_l,\gamma_1,\ldots,\gamma_m}\) – baza \(\displaystyle{ V.}\)

Wtedy przestrzeń \(\displaystyle{ W'=\mathrm{lin}(\ref{zgadnij})}\) spełnia warunki zadania.

[cis123]

lin? masz na mysli span?
czyli \(\displaystyle{ W' = span(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\gamma_1,\ldots,\gamma_m)}\)?
A ta druga część zadania?
Wiemy, że \(\displaystyle{ a_{11}+a_{22}=0}\) oraz \(\displaystyle{ a_{11}=-a_{11}, \ a_{22} = -a_{22}, \ a_{12}=-a_{21}}\).
Zatem \(\displaystyle{ a_{11}=a_{22}=0}\) oraz \(\displaystyle{ a_{12}=-a_{21}}\)
Czyli \(\displaystyle{ W'=span(\begin{bmatrix} 0&1\\-1&0\end{bmatrix})}\) ?

[norwimaj]

lCzyli \(\displaystyle{ W'=span(\begin{bmatrix} 0&1\\-1&0\end{bmatrix})}\) ?

To byłby dobry początek rozwiązania, gdybyś nie pomylił \(\displaystyle{ W'}\) z \(\displaystyle{ U.}\)

[lewapkon]

Co do drugiej części zadania to mam pytanie czy takie rozwiązanie jest poprawne.

\(\displaystyle{ U=span\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \right) \\
W=span\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right) \\
V = span\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) \\
W’ = span\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)}\)

[norwimaj]

Jest poprawne.