Baza dla przestrzeni macierzy

[zagubiony_uzytkownik]

Mam zbior do ktorego naleza macierze ktorych suma elementow w wierszu jest rowna zero. Jaki moze byc przyklad bazy? Probowalem cos wymyslec, ale zawsze ta baza nie bedzie rozpinala calej tej przestrzeni

[Peter Zof]

Załóżmy że mówimy o macierzach wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\). Podpowiedź: Przestrzeń której szukasz jest \(\displaystyle{ n^2-1}\) wymiarowa, tj. taka jest moc szukanej bazy.

[zagubiony_uzytkownik]

wlasnie macierze te sa wymiaru \(\displaystyle{ m \times n}\) czyli bedzie baza bedzie miala wymiar \(\displaystyle{ mn-1}\)? Tylko dalej troche nie rozumiem. Czyli bedzie to \(\displaystyle{ n^2 - 1}\) macierzy ktore tworza ta baze, ale dalej nie wiem jak one mialyby wygladac zeby mozna bylo stworzyc wszystkie macierze nalezace do tego zbioru

Myslalem o takich macierzach gdzie bedzie w wierszu 1, -1 i taka para bedzie po prostu "przechodzic" o jedno miejsce w prawo

[Peter Zof]

Wybacz, z jakiegoś powododu przeczytałem że ich suma na diagonali ma być zero. W takim razie muszę jeszcze się chwilę zastanowić.

@edit

Wymiarem tej przestrzeni będzie \(\displaystyle{ (m-1) \cdot n}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) to liczba kolumn, a \(\displaystyle{ n}\) to liczba wierszy.

[zagubiony_uzytkownik]

a nie bedzie to \(\displaystyle{ (n-1)m}\)? Teraz jak chwile posiedzialem i myslalem czy moze byc to baza postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&...&0\\0&...&...&0\\...&...&...&...\\0&...&...&0\end{bmatrix}}\)
nastepna
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&-1&...\\0&...&...&0\\...&...&...&...\\0&...&...&0\end{bmatrix}}\)
itd przesuwamy jedynke w prawo. Wtedy jesli \(\displaystyle{ A \in \mathbb{K}^{m,n}}\) to w wierszu mamy \(\displaystyle{ n-1}\) takich mozliwosci ustawienia \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ m}\) wierszy stad \(\displaystyle{ (n-1)m}\)

edit
przepraszam, doczytalem teraz ze m to byla liczba kolumn, przyzwyczajenie

[Peter Zof]

Tak, wynika to też z tego że odwzorowanie liniowe które zapomina o ostatniej kolumnie macierzy z naszej przestrzeni jest izomorfizmem.

[a4karo]

Pytanie: co znaczy warunek " suma elementow w wierszu jest rowna zero"?
W każdym wierszy, czy w pewnym ustalonym?
Czy może w pewnym wierszu?. W każdym z przypadków odpowiedź będzie inna