iloczyn skalarny w przestrzeni euklidesowej

[doly]

Jak wygląda iloczyn skalarny w przestrzeni euklidesowej ?
Czy w przestrzeni euklidesowej norma określona jest tylko w jeden sposób \(\displaystyle{ ||x||= \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} x _{i} ^{2} }}\)

[szw1710]

Tak - to jest norma euklidesowa. związany z nią iloczyn skalarny (oznaczenia standardowe) to \(\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_iy_i\,.}\)

Przestrzeń liniową z jakimkolwiek iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią unitarną (inner product space). Np. przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^n}\) z iloczynem skalarnym danym wzorem \(\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n ix_iy_i}\) jest unitarna, ale nie jest euklidesowa.

Pytanie dodatkowe: czemu to jest iloczyn skalarny?

[Dualny91]

Norma w tym wypadku jest jedyna w tym sensie, że każda inna norma jest do niej równoważna. Jest to własność przysługująca przestrzeniom skończonego wymiaru.

[szw1710]

Owszem. Mówimy tu jednak o aspekcie topologicznym. Ten jednak nie ma nic do rzeczy przy mierzeniu kątów (iloczyny skalarne). Niektóre normy pochodzą od iloczynu skalarnego, inne nie. Sprawę rozsądza spełnianie przez normę warunku równoległoboku:

\(\displaystyle{ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2}\)

dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y}\). Zgodnie z twierdzeniem Jordana-von Neumanna spełnienie tego warunku jest równoważne unitarności przestrzeni, czyli pochodzeniu normy od iloczynu skalarnego.

[Spektralny]

Przestrzeń liniową z jakimkolwiek iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią unitarną (inner product space). Np. przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^n}\) z iloczynem skalarnym danym wzorem \(\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n ix_iy_i}\) jest unitarna, ale nie jest euklidesowa.

Pytanie dodatkowe: czemu to jest iloczyn skalarny?

Możliwe że to różnica w stosowanych konwencjach, ale dla mnie przestrzeń euklidesowa to dowolna skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa z zadanym iloczynem skalarnym. Skąd bierzesz takie rozróżnienie? By mówić o iloczynie skalarnym wcale nie musimy ustalać bazy. Zobacz ten wątek:

166831.htm#p5135854

Norma w tym wypadku jest jedyna w tym sensie, że każda inna norma jest do niej równoważna. Jest to własność przysługująca przestrzeniom skończonego wymiaru.

Równoważność to za mało. Wszystkie normy pochodzące od iloczynu skalarnego różnią się jedynie o unitary twist, czyli o złożenie z odpowiednimi macierzami unitarnymi.