Pokaż, że rząd macierzy jest parzysty

[ketepole]

Pokaż, że rząd macierzy \(\displaystyle{ A \in \mathbb{R}^{n,n}}\), takiej, że \(\displaystyle{ A + A ^ T = 0}\), jest liczbą parzystą.

Oczywiście mamy
\(\displaystyle{ A = -A^T}\)
\(\displaystyle{ rank(A) = rank(-A) = rank(A^T)}\)
a sama macierz musi być w postaci:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&a_{1,2}&a_{1,3}& \\-a_{1,2}&0&a_{2,3}&...\\-a_{1,3}&-a_{2,3}&0& \\&...&&...\end{bmatrix}}\)

ale co dalej?

[Kartezjusz]

Załóż nieparzystość.

[ketepole]

Wtedy wiem, że istnieją i,j, takie że \(\displaystyle{ a_{i,j} \neq 0}\).

[Kartezjusz]

To przy niezerowości rzędu. dwa przypadki. Parzyste\(\displaystyle{ n}\)i nieparzyste

[ketepole]

Przy parzystym wszystkie kolumny/wiersze mogłyby być lnz, a przy nieparzystym co najmniej jedna kolumna musi być zależna od pozostałych.

[Kartezjusz]

Tak. Musisz to pokazać,

[ketepole]

Ale po pierwsze to nie wystarczy, bo "co najmniej jedna" może znaczyć dwie i wtedy rząd A jest nieparzysty. A po drugie nie wiem jak.